Question

【題目】如圖，點B、C、D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延長線于點A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=4 ．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC交BD于點E，
∵∠B=30°，
∴∠COD=2∠B=60°，
又∵∠A=30°，
∴∠ACO=90°，
即OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線.


（2）解：∵AC∥BD，∠ACO=90°，
∴∠OED=∠ACO，
即OC⊥BD，
又∵BD=4，
∴DE=BD=2，
又∵sin∠OCD=sin60°=，
∴，
∴OD=4，
又∵tan∠OCD=tan60°=，
∴，
∴AC=4，
∴S陰=S△OAC-S扇形OCD
∴S陰=×AC×OC-，
∴S陰=×4×4-，
∴S陰=8-.

【解析】（1）連接OC交BD于點E，由同弧所對的圓心角等于圓周角的兩倍得出∠COD=2∠B=60°，從而得出∠ACO=90°，即AC是⊙O的切線.
（2）由兩直線平行，同位角相等得出∠OED=∠ACO=90°，再根據垂徑定理得出DE=BD=2，在Rt△ODE和Rt△OAC中，由銳角三角函數得出
OD=4，AC=4，再由S陰=S△OAC-S扇形OCD計算即可.