Question

如圖，D是等邊△ABC外的一點，DB=DC，∠BDC=120°，且E、F分別在AB和AC上．
（1）求證：AD是BC的垂直平分線；     
（2）若ED平分∠BEF，證明：
①FD平分∠EFC；
②△AEF的周長是BC長的2倍．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）求出AB=AC，BD=DC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出即可；
（2）①過D作DM⊥EF，連接AD，求出AD平分∠BAC，求出∠ABC=∠ACB=60°，求出BD=DM，BD=DC，推出DM=DC即可；
②求出DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，證出△EBD≌△EMD，推出EM=BE，同理FC=FM，求出EF=BE+CF，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∴A在BC的垂直平分線上，
∵BD=DC，
∴D在BC的垂直平分線上，
∴AD是BC的垂直平分線；

（2）①
過D作DM⊥EF，連接AD，
∵AD是BC的垂直平分線，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴DB⊥AB，DC⊥AC，
∵DM⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC，
∴BD=DM，BD=DC，
∴DM=DC，
∴FD平分∠EFC；
②
∵DE平分∠BEF，DB⊥AB，DM⊥EF，DF平分∠CFE，
∴DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，
在△EBD和△EMD中

∠EBD=∠EMD ∠BED=∠MED DE=DE

，
∴△EBD≌△EMD，
∴EM=BE，
同理FC=FM，
∴EF=BE+CF，
∴△AEF的周長是AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=2AB=2BC．

點評：此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應用與輔助線的作法．