Question

【題目】拋物線與軸交于點，，與軸交于點，頂點為，直線與軸交于點.

（Ⅰ）求頂點的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖，設(shè)點為線段上一動點（點不與點、重合），過點作軸的垂線與拋物線交于點.求的面積最大值；

（Ⅲ）點在線段上，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（1，-4）；（Ⅱ）1；（Ⅲ）（，-）

【解析】

（Ⅰ）利用待定系數(shù)法把，，代入二次函數(shù)中，即可算出b、c的值，得到函數(shù)解析式，再用配方法求得頂點的坐標(biāo)；

（Ⅱ）先根據(jù)B、D兩點坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定直線BD的解析式，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n）,再根據(jù)，得出關(guān)于點P的橫坐標(biāo)m的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法即可得出結(jié)論；

（Ⅲ）根據(jù)B、C、D三點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式分別求出CD、BD、CB的平方，再利用勾股定理的逆定理確定BCD為直角三角形，求出tan∠CDB的值，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（n，2n-6），再根據(jù)已知條件得出tan∠QCE=3，從而列出n的方程，解方程即可確定Q點坐標(biāo)．

（Ⅰ）∵拋物線y=x2-bx+c的圖象經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），

∴；

解得：

∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3=（x-1）2-4；

∴頂點的坐標(biāo)為：（1，-4）；

（Ⅱ）設(shè)直線BD解析式為y=kx+b，

∵，D（1，-4）．

∴；

解得：

∴直線BD解析式為y=2x-6，

設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n）,

∵點為線段上一動點（點不與點、重合），

∴點P的坐標(biāo)為：（m，2m-6）（1）；

∵點是過點作軸的垂線與拋物線的交點.

∴點F的坐標(biāo)為：(m，m2-2m-3)；

∵點P在點F的上方，

∴PF=（2m-6）-（m2-2m-3)=-m2+4m-3

設(shè)直線PF交x軸于點G，過點D作DH⊥PF于H,

∵

=-m2+4m-3=-．

∴是關(guān)于m的二次函數(shù)；

∵a=-1，

∴當(dāng)m=2時，的面積有最大值，最大值為1．

（Ⅲ）點Q的坐標(biāo)為（，-）

連接BC、CD，由點、、（1，-4）；

根據(jù)兩點間的距離公式可得：，，

；

∴

∴∠DCB=90°

在Rt中，tan∠CDB=

∵∠CDB=∠QCE，∴tan∠QCE =3，

設(shè)點Q的坐標(biāo)為（n，2n-6）

過點Q作QM⊥CE于M,

在Rt中，tan∠QCE==3，∴n=

∴點Q的坐標(biāo)為（，-）