Question

2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E，F(xiàn)是線段AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ECF=45°，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)分別作BC，AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H，G．有以下結(jié)論：①AB=$\sqrt{2}$；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=$\frac{1}{2}$；③△ACE∽△BFC；④AF+BE=EF．其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷；
②如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，可得MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，進(jìn)一步得到FG是△ACB的中位線，從而作出判斷；
③根據(jù)AA可證△ACE∽△BFC；
④如圖2所示，SAS可證△ECF≌△ECD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷．

解答 解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，
則AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，故①正確；
②如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵M(jìn)G⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CE=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位線，
∴GC=$\frac{1}{2}$AC=MH，故②正確；
④如圖2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
將△ACF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，
則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠2=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠BDE=90°，
∴DE²=BD²+BE²，即EF²=AF²+BE²，故④錯(cuò)誤；
③∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{AC}{BF}$，
故③正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．