Question

如圖，AB是等腰直角三角形ABC的斜邊，若點M在邊AC上，點N在邊BC上，沿直線MN將△MCN翻折，使點C落在邊AB上，設其落點為P．
（1）當點P是邊AB的中點時，比例式

PA

PB

=

CM

CN

成立嗎？為什么？
（2）當點P不是邊AB的中點時，

PA

PB

=

CM

CN

是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先連接PC，易證得△CMN∽△CAB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得

CM

CN

=

AC

BC

=1，繼而可得比例式

PA

PB

=

CM

CN

成立；
（2）首先連接PC，則MN⊥PC，過點P作PE⊥AC于點E，易證得△AEP∽△ACB，△MCN∽△PEC，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得

PA

PB

=

CM

CN

成立．

解答：解：（1）點P是邊AB的中點時，比例式

PA

PB

=

CM

CN

成立．
理由：如圖（1），連接PC，
∵MN是折痕，
∴MN垂直平分PC，
∵AC=BC，AP=BP，
∴CP⊥AB，

PA

PB

=1，
∴MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴

CM

CN

=

AC

BC

=1，
∴

PA

PB

=

CM

CN

；

（2）當點P不是邊AB的中點時，

PA

PB

=

CM

CN

仍然成立．
理由：如圖（2），連接PC，則MN⊥PC，
過點P作PE⊥AC于點E，
∵∠ACB=90°，∠A是公共角，
∴△AEP∽△ACB，
∴

PA

PB

=

AE

EC

，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，
∴AE=EP，
∵∠MCN=90°，CP⊥MN，
∴∠ECP=∠MNC，
∴△MCN∽△PEC，
∴

CM

PE

=

CN

EC

，
∴

CM

CN

=

PE

EC

=

AE

EC

，
∴

PA

PB

=

CM

CN

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、折疊的性質以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．