Question

一走廊拐角的橫截面積如圖所示，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m，

EF

的圓心為O，半徑為1m，且∠EOF=90°，DE、FG分別與⊙O相切于E、F兩點(diǎn)．若水平放置的木棒MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在AB和BC上，且MN與⊙O相切于點(diǎn)P，P是

EF

的中點(diǎn)，則木棒MN的長度為

 

m．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,正方形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：連接OB，延長OF，OE分別交BC于H，交AB于G，證得四邊形BGOH是正方形，然后證得OB經(jīng)過點(diǎn)P，根據(jù)勾股定理求得OB的長，因?yàn)榘霃絆P=1，所以BP=2

2

-1，然后求得△BPM≌△BPN得出P是MN的中點(diǎn)，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得．

解答：解：連接OB，延長OF，OE分別交BC于H，交AB于G，

∵DE、FG分別與⊙O相切于E、F兩點(diǎn)，
∴OE⊥ED，OF⊥FG，
∵AB∥DE，BC∥FG，
∴OG⊥AB，OH⊥BC，
∵∠EOF=90°，
∴四邊形BGOH是矩形，
∵兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m，⊙O半徑為1m，
∴OG=OH=2，
∴矩形BGOH是正方形，
∴∠BOG=∠BOH=45°，
∵P是

EF

的中點(diǎn)，
∴OB經(jīng)過P點(diǎn)，
在正方形BGOH中，邊長=2，
∴OB=2

2

，
∵OP=1，
∴BP=2

2

-1，
∵p是MN與⊙O的切點(diǎn)，
∴OB⊥MN，
∵OB是正方形BGOH的對(duì)角線，
∴∠OBG=∠OBH=45°，
在△BPM與△BPN中

∠OBG=∠OBH=45° ∠BPM=∠BPN BP=BP

∴△BPM≌△BPN（ASA）
∴MP=NP，
∴MN=2BP，
∵BP=2

2

-1，
∴MN=2（2

2

-1）=4

2

-2，
故答案為：4

2

-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，O、P、B三點(diǎn)共線是本題的關(guān)鍵．