Question

如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD=45°，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF．
（1）試判斷BF與AE有什么樣的數(shù)量關(guān)系．并說明理由；
（2）若CD=2，求AF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）判斷出△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD，根據(jù)同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角邊角”證明△ADC和△BDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=AC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC=2AE，從而得解；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=CD，利用勾股定理列式求出CF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AF=FC．

解答：（1）解：BF=2AE．
理由如下：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，

∠CAD=∠CBE AD=BD ∠ADC=∠BDF=90°

，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；

（2）解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=2，
在Rt△CDF中，CF=

CD2+DF2

=

22+22

=2

2

，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．