Question

如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，線(xiàn)段AI的延長(zhǎng)線(xiàn)交△ABC的外接圓于點(diǎn)D、BC于點(diǎn)E．
（1）求證：BD=ID；
（2）若ID=4，AD=8，求DE的長(zhǎng)；
（3）延長(zhǎng)ID至點(diǎn)F，使DF=ID．連結(jié)BF，求證：BF⊥BI．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）要證明ID=BD，只要求得∠BID=∠IBD即可；
（2）根據(jù)已知及相似三角形的判定方法得到△ABD∽△BED，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可求出DE的長(zhǎng)；
（3）由（1）可知ID=BD，所以BD=ID=DF，即BD=

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2

ID，所以三角形BFI是直角三角形，進(jìn)而可證明BF⊥BI．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD；
（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D，
∴△ABD∽△BED，
∴BD：DE=AD：BD，
∵ID=BD=4，AD=8，
∴4：DE=8：4，
∴DE=2；
（3）∵ID=BD，DF=ID，
∴BD=ID=DF，
即BD=

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2

ID，
∴△BFI是直角三角形，
∴BF⊥BI．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABD∽△BED是解題關(guān)鍵．