Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，半圓直徑為OC，半圓圓心D的坐標(biāo)為（0，2），四邊形OABC是矩形，∠OPH=60°．半圓D的切線PH分別與x軸和y軸相交于點(diǎn)P與點(diǎn)H，切點(diǎn)為點(diǎn)E．
（1）求切線PH所在直線的解析式；
（2）求線段OP、EP與弧OE所圍成圖形的面積S．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)切線PH所在直線的解析式為y=kx+b，連接DE，DP，利用已知條件和勾股定理可求出OP，OH的長(zhǎng)，即點(diǎn)P和點(diǎn)H的坐標(biāo)，代入直線解析式求出k和b的值即可；
（2）易證Rt△OPD≌Rt△EPD，由全等三角形的性質(zhì)可求出∠ODE的度數(shù)，再根據(jù)線段OP、EP與弧OE所圍成圖形的面積S=2S_△OPD-S_扇形DOE計(jì)算即可．

解答：解：（1）連接DE，DP，
∵四邊形OABC是矩形，
∴∠DOP=90°
∵OC是圓的半徑，
∴OP切圓D于點(diǎn)O，
∴PH與半圓D切于點(diǎn)E，
∴OP=EP，∠DPO=∠DPE=

1

2

∠OPH=30°，∠OHP=90°-∠OPH=30°，
∴DP=2OD=4，
OP=

DP2-OD2

=2

3

，HP=2OP=4

3

，
∴OH=

PH2-OP2

=6，
∴P（2

3

，0），H（0，6），
設(shè)切線PH所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），
把P，H點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：

2 3 k+b=0 b=6

，
解得：

k=- 3 b=6

，
∴切線PH所在直線的解析式為y=-

3

x++6；

（2）在Rt△OPD和Rt△EPD中，

OP=EP DP=DP

，
∴Rt△OPD≌Rt△EPD，
∴∠ODP=∠EDP=90°-∠OPD=60°，
∴∠ODE=120°，
∴線段OP、EP與弧OE所圍成圖形的面積S=2S_△OPD-S_扇形DOE=2×

1

2

×2

3

×2-

120×π×22

360

=4

3

-

4π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了和圓有關(guān)的綜合題，用到的知識(shí)點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、勾股定理、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式、扇形的面積公式運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．