Question

如圖1，△ABC和△CDE均為等腰三角形，AC=BC，CD=CE，AC＞CD，∠ACB=∠DCE且點A、D、E在同一直線上，連接BE．

（1）若∠ACB=60°，則∠AEB的度數(shù)為

 

；線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是

 

．
（2）如圖2，若∠ACB=∠DCE=90°，CM為△DCE中DE邊上的高．
①求∠AEB的度數(shù)；
②若AC=

2

，BE=1，試求CM的長．（請寫全必要的證明和計算過程）

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）易證∠ACD=∠BCE，即可證明△ACD≌△BCE，可得∠CDA=∠CEB，AD=BE，根據(jù)∠CDA=180°-∠CDE和∠CED=60°，即可求得∠AEB的值，即可解題；
（2）①易證∠ACD=∠BCE，即可證明△ACD≌△BCE，可得∠CDA=∠CEB，AD=BE，根據(jù)∠CDA=180°-∠CDE和∠CED=45°，即可求得∠AEB的值，即可解題；
②易證CM=DM，根據(jù)AD=BE即可求得AD的值，設(shè)CM=x，則AM=x+1，根據(jù)AC²=AM²+CM²，即可求得x的值，即可解題．

解答：解：（1）∵∠ACD+∠DCB=60°，∠DCB+∠BCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CEB，AD=BE，
∵∠CDA=180°-∠CDE=120°，∠CED=60°，
∴∠AEB=120°-60°=60°；
（2）①∵∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CEB，AD=BE，
∵∠CDA=180°-∠CDE=135°，∠CED=45°，
∴∠AEB=135°-45°=90°；
②∵CM⊥DE，△CDE是等腰直角三角形，
∴CM=DM，
∵AD=BE，
∴AD=1，
設(shè)CM=x，則AM=x+1，
∵AC²=AM²+CM²，
∴2=（x+1）²+x²，
解得：x=

3 -1

2

．
故答案為：60°，AD=BE．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．