Question

【題目】已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊做正方形ADEF，連接CF．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，直接寫(xiě)出線段CF、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系　 　．

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他件不變，則（1）中的三條線段之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如成立，請(qǐng)予以證明，如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線BC兩側(cè)，其他條件不變；若正方形ADEF的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AE、DF相交于點(diǎn)O，連接OC，請(qǐng)直接寫(xiě)出OC的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）CF+CD＝BC；（2）CF+CD＝BC不成立，存在CF﹣CD＝BC，證明詳見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF＝BD，據(jù)此即可證得；

（2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD＝CF，即可得到CF﹣CD＝BC；

（3）先證明△BAD≌△CAF，進(jìn)而得出△FCD是直角三角形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得DF的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可得到OC的長(zhǎng)．

（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

∴AB＝AC，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD＝AF，∠DAF＝90°，

∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD＝CF，

∵BD+CD＝BC，

∴CF+CD＝BC；

故答案為：CF+CD＝BC；

（2）CF+CD＝BC不成立，存在CF﹣CD＝BC；

理由：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

∴AB＝AC，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD＝AF，∠DAF＝90°，

∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS）

∴BD＝CF

∴BC+CD＝CF，

∴CF﹣CD＝BC；

（3）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

∴AB＝AC，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD＝AF，∠DAF＝90°，

∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF，

∴∠BAD＝∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF＝∠ABD，

∵∠ABC＝45°，

∴∠ABD＝135°，

∴∠ACF＝∠ABD＝135°，

∴∠FCD＝135°﹣45°＝90°，

∴△FCD是直角三角形．

∵正方形ADEF的邊長(zhǎng)4且對(duì)角線AE、DF相交于點(diǎn)O．

∴DF＝AD＝4，O為DF中點(diǎn)．

∴Rt△CDF中，OC＝DF＝×＝．