Question

如圖，已知半徑為2的⊙O與直線x相切于點A，點P 是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線x的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為x（2＜x＜4）．
（1）求證：△PCA∽△APB；
（2）當x=

2

5

時，求弦PA、PB的長度；
（3）當x為何值時，PD•CD的值最大？最大值是多少？

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用切線的性質以及平行線的性質進而得出，∠CPA=∠PAB以及∠PCA=∠APB=90°，即可得出答案；
（2）利用切線的性質以及勾股定理得出PA，PB的長；
（3）首先得出四邊形OACE為矩形，進而得出PD•CD=2（x-2）•（4-x），進而求出最值．

解答：（1）證明：∵⊙O與直線l相切于點A，且AB為⊙O的直徑，
∴AB⊥l，
又∵PC⊥l，
∴AB∥PC，
∴∠CPA=∠PAB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
又∵PC⊥l，
∴∠PCA=∠APB=90°，
∴△PCA∽△APB；

（2）解：∵△PCA∽△APB
∴

PC

AP

=

PA

AB

，
即 PA²=PC•AB，
∵PC=

5

2

，AB=4，
∴PA=

5 2 ×4

=

10

，
∴Rt△APB中，AB=4，PA=

10

由勾股定理得：PB=

16-10

=

6

；

（3）解：過O作OE⊥PD，垂足為E，
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，
∴PE=ED，
又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，
∴四邊形OACE為矩形，
∴CE=OA=2，
又∵PC=x，
∴PE=ED=PC-CE=x-2，PD=2（x-2），
∴CD=PC-PD=x-2（x-2）=4-x，
∴PD•CD=2（x-2）•（4-x）=-2x²+12x-16=-2（x-3）²+2    
∵2＜x＜4，
∴當x=3時，PD•CD的值最大，最大值是2．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及勾股定理以及切線的性質和相似三角形的判定與性質等知識，表示出PD，CD的長是解題關鍵．