Question

如圖①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x軸，OA=2OB，AB=5，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．
（1）直接寫出反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖②，P（x，y）在（1）中的反比例函數(shù)圖象上，其中1＜x＜8，連接OP，過點(diǎn)O 作OQ⊥OP，且OP=2OQ，連接PQ．設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，n），其中m＜0，n＞0，求n與m的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若Q坐標(biāo)為（m，1），求△POQ的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）如圖①，在Rt△OAB中利用勾股定理計(jì)算出OB=

5

，OA=2

5

，由于AB平行于x軸，則OC⊥AB，則可利用面積法計(jì)算出OC=2，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AC=4，得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式為y=

8

x

；
（2）分別過P、Q做x軸垂線，垂足分別為H、D，如圖②，先證明Rt△POH∽Rt△OQD，根據(jù)相似的性質(zhì)得

OH

QD

=

PH

OD

=

OP

OQ

，由于OP=2OQ，PH=y，OH=x，OD=-m，QD=n，則

x

n

=

y

-m

=2，即有x=2n，y=-2m，而x、y滿足y=

8

x

，則2n•（-2m）=8，即mn=-2，當(dāng)1＜x＜8時(shí)，1＜y＜8，所以1＜-2m＜8，解得-4＜m＜-

1

2

；
（3）由于n=1時(shí)，m=-2，即Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），利用兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算出OQ=

5

，則OP=2OQ=2

5

，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答：解：（1）如圖①，∵∠AOB=90°，
∴OA²+OB²=AB²，
∵OA=2OB，AB=5，
∴4OB²+OB²=25，解得OB=

5

，
∴OA=2

5

，
∵AB平行于x軸，
∴OC⊥AB，
∴

1

2

OC•AB=

1

2

OB•OA，即OC=

5 ×2 5

5

=2，
在Rt△AOC中，AC=

OA2-OC2

=4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），
設(shè)過A點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為y=

k

x

，
∴k=4×2=8，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

8

x

；

（2）分別過P、Q作x軸垂線，垂足分別為H、D，如圖②，
∵OQ⊥OP，
∴∠POH+∠QOD=90°，
∵∠POH+∠OPH=90°，
∴∠QOD=∠OPH，
∴Rt△POH∽Rt△OQD，
∴

OH

QD

=

PH

OD

=

OP

OQ

，
∵P（x，y）在（1）中的反比例函數(shù)圖象上，其中1＜x＜8，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），其中m＜0，n＞0，OP=2OQ，
∴PH=y，OH=x，OD=-m，QD=n，
∴

x

n

=

y

-m

=2，解得x=2n，y=-2m，
∵y=

8

x

，
∴2n•（-2m）=8，
∴mn=-2（-4＜m＜-

1

2

）；

（3）∵n=1時(shí)，m=-2，即Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），
∴OQ=

12+(-2)2

=

5

，
∴OP=2OQ=2

5

，
∴S_△POQ=

1

2

×

5

×2

5

=5．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會利用相似比和勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．