Question

P為以r為半徑的⊙O外一點，T是⊙O上一點，PO交⊙O于A點，cos∠OPT=

3

2

，∠OAT=60°，PBC為⊙O割線
（1）求證：PT是切線；
（2）設(shè)PB為x，PC為y求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（3）由（2）中，若x、y是關(guān)于z的方程4z²-14rz+k=0的兩根，且弦長BC=l，求半徑r．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠OPT=30°，進而利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠OTP=90°，進而得出答案；
（2）利用切割線定理得出PT²=PB•PC，進而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及利用等邊三角形的性質(zhì)得出x的取值范圍；
（3）利用根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系以及（2）中所求得出x、y是方程4z²-14rz+12r²=0的兩根，求出x，y的值，進而由BC=1，即可得出答案．

解答：（1）證明：連結(jié)OT．
∵cos∠OPT=

3

2

，
∴∠OPT=30°，
又∵∠OPT=60°，
∴∠ATP=30°，
∵OT=OA，
∴∠OTA=60°，
∴∠OTP=90°，
∴PT是⊙O的切線；

（2）解：∵PT是⊙O的切線，PBC是割線，
∴PT²=PB•PC，
∵PT²=PO²-OT²=（2r）²-r²=3r²，
∴3r²=xy，
故y=

3r2

x

，
∵PA＜x=PB≤PT，
由（1）知，△OAT是等邊三角形，PA=AT=OA=r，
故自變量x的取值范圍為：r≤x＜

3

r；

（3）解：∵x、y是關(guān)于z的方程4z²-14rz+k=0的兩根，
∴xy=

k

4

，由（2）知，

k

4

=3r²，則k=12r²，
即x、y是方程4z²-14rz+12r²=0的兩根，
解得：x=

3

2

r，y=2r或x=2r，y=

3

2

r，
由函數(shù)自變量的取值范圍是：r≤x＜

3

r，而x=2r＞

3

r舍去，
故方程的解是x=

3

2

r，y=2r，
∵BC=y-x=2r-

3

2

r=

1

2

r=1，
解得：r=2．

點評：此題主要考查了圓的綜合以及根與系數(shù)關(guān)系和切割線定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，熟練應(yīng)用切割線定理得出y與x的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．