【題目】[問題]小明在學習時遇到這樣一個問題:求不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集.
他經(jīng)歷了如下思考過程:
[回顧]
(1)如圖1,在平面直角坐標系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2=交于A (1,3)和B(﹣3,﹣1),則不等式ax+b>的解集是 .
[探究]將不等式x3+3x2﹣x﹣3>0按條件進行轉(zhuǎn)化:
當x=0時,原不等式不成立;
當x>0時,不等式兩邊同除以x并移項轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1>;
當x<0時,不等式兩邊同除以x并移項轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1<.
(2)構(gòu)造函數(shù),畫出圖象:
設y3=x2+3x﹣1,y4=,在同一坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象;
雙曲線y4=如圖2所示,請在此坐標系中畫出拋物線y=x2+3x﹣1.(不用列表)
(3)確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標:
觀察所畫兩個函數(shù)的圖象,猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知:滿足y3=y4的所有x的值為 .
[解決]
(4)借助圖象,寫出解集:
結(jié)合“探究”中的討論,觀察兩個函數(shù)的圖象可知:不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集為 .
【答案】(1)x>1或﹣3<x<0;(2)詳見解析;(3)﹣3或﹣1或1;(4)x>1或x<﹣3或﹣1<x<0.
【解析】
(1)根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像位置關(guān)系直接觀察出不等式解集.
(2)找出該函數(shù)上的關(guān)鍵點,在圖表中描點連線即可.
(3)由圖像觀察即可得出交點的橫坐標,即為原方程的解.
(4)根據(jù)(3)小問的方法,將原式轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1>,作圖找交點即可(注意討論x與0的大小關(guān)系).
解:(1)如圖1中,觀察圖形可知:不等式ax+b>的解集為x>1或﹣3<x<0.
故答案為:x>1或﹣3<x<0.
(2)函數(shù)y3=x2+3x﹣1的圖形如圖所示:
(3)觀察圖象可知,兩個函數(shù)圖象的公共點的橫坐標為﹣3,﹣1,1.
經(jīng)過檢驗可知:點(﹣3,﹣1),點(﹣1,﹣3),點(1,3)是兩個函數(shù)的交點坐標,
滿足y3=y4的所有x的值為﹣3或﹣1或1.
故答案為﹣3或﹣1或1.
(4)觀察圖象,當x>0時,不等式兩邊同除以x并移項轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1>的解集為x>1,
當x<0時,不等式兩邊同除以x并移項轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1<的解集為x<﹣3或﹣1<x<0,
∴不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集為x>1或x<﹣3或﹣1<x<0.
故答案為x>1或x<﹣3或﹣1<x<0.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知的直角頂點,斜邊在軸上,且點的坐標為,點是的中點,點是邊上的一個動點,拋物線過,,三點.
(1)當時,
①求拋物線的解析式;
②平行于對稱軸的直線與軸,,分別交于點,,,若以點,,為頂點的三角形與相似,求點的值.
(2)以為等腰三角形頂角頂點,為腰構(gòu)造等腰,且點落在軸上.若在軸上滿足條件的點有且只有一個時,請直接寫出點的坐標.
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【題目】如圖1,已知拋物線過點.
(1)求拋物線的解析式及其頂點C的坐標;
(2)設點D是x軸上一點,當時,求點D的坐標;
(3)如圖2.拋物線與y軸交于點E,點P是該拋物線上位于第二象限的點,線段PA交BE于點M,交y軸于點N,和的面積分別為,求的最大值.
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【題目】一方有難,八方支援.已知甲、乙兩地急需一批物資,其中甲地需要240噸,乙地需要260噸.A、B兩城市通過募捐,很快籌集齊了這種物資,其中A城市籌到物資200噸,B城市籌到物資300噸.已知從A、B兩城市將每噸物資分別運往甲、乙兩地所需運費成本(單位:元/噸)如表所示.問:怎樣調(diào)運可使總運費最少?最少運費為多少元?
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【題目】如圖,建筑物BC的屋頂有一根旗桿AB,從地面上點D處觀測旗桿頂點A的仰角為50°,觀測旗桿底部點B的仰角為45°.若旗桿的高度AB為3.5米,則建筑物BC的高度約為_____米.(精確到1米,可用參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.8,tan50°≈1.2)
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【題目】如圖甲,在四邊形ABCD中,AD//BC,∠C=90°動點P從點C出發(fā)沿線段CD向點D運動.到達點D即停止,若E、F分別是AP、BP的中點,設CP=x,△PEF的面積為y,且y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖乙所示,則線段AB長為( )
A.2B.2C.2D.2
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【題目】隨著近幾年城市建設的快速發(fā)展.某市對花木的需求量逐年提高,某園林專業(yè)戶計劃投資15萬元種植花卉和樹木.根據(jù)市場調(diào)查與預測,種植樹木的利潤y1(萬元)與投資量x(萬元)成正比例關(guān)系,如圖①所示;種植花卉的利潤y2(萬元)與投資量x(萬元)的函數(shù)關(guān)系如圖②所示(其中OA是拋物線的一部分,A為拋物線的頂點;AB//x軸)。
(1)求出y1和y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式
(2)求此專業(yè)戶種植花卉和樹木獲取的總利潤W(萬元)關(guān)于投入種植花卉的資金t(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系式:
(3)此專業(yè)戶投入種植花卉的資金為多少萬元時,才能使獲取的利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】如圖,,矩形的邊、分別在、上,,,矩形沿射線方向,以每秒1個單位長度的速度運動.同時點從點出發(fā)沿折線以每秒1個單位長度的速度向終點運動,當點到達點時,矩形也停止運動,設點的運動時間為,的面積為.
(1)分別寫出點到、的距離(用含的代數(shù)式表示);
(2)當點不與矩形的頂點重合時,求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)設點到的距離為,當時,求的值;
(4)若在點出發(fā)的同時,點從點以每秒個單位長度的速度向終點A運動,當點停止運動時,點與矩形也停止運動,設點關(guān)于的對稱點為,當的一邊與的一邊平行時,直接寫出線段的長.
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【題目】某工廠生產(chǎn)部門為了解本部門工人的生產(chǎn)能力情況,進行了抽樣調(diào)查.該部門隨機抽取了30名工人某天每人加工零件的個數(shù),數(shù)據(jù)如下:
20 | 21 | 19 | 16 | 27 | 18 | 31 | 29 | 21 | 22 |
25 | 20 | 19 | 22 | 35 | 33 | 19 | 17 | 18 | 29 |
18 | 35 | 22 | 15 | 18 | 18 | 31 | 31 | 19 | 22 |
整理上面數(shù)據(jù),得到條形統(tǒng)計圖:
樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下表所示:
統(tǒng)計量 | 平均數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) |
數(shù)值 | 23 | m | 21 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)上表中眾數(shù)m的值為 ;
(2)為調(diào)動工人的積極性,該部門根據(jù)工人每天加工零件的個數(shù)制定了獎勵標準,凡達到或超過這個標準的工人將獲得獎勵.如果想讓一半左右的工人能獲獎,應根據(jù) 來確定獎勵標準比較合適.(填“平均數(shù)”、“眾數(shù)”或“中位數(shù)”)
(3)該部門規(guī)定:每天加工零件的個數(shù)達到或超過25個的工人為生產(chǎn)能手.若該部門有300名工人,試估計該部門生產(chǎn)能手的人數(shù).
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