【題目】如圖,,矩形的邊、分別在、上,,,矩形沿射線方向,以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí),矩形也停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,的面積為.
(1)分別寫出點(diǎn)到、的距離(用含的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)點(diǎn)不與矩形的頂點(diǎn)重合時(shí),求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)設(shè)點(diǎn)到的距離為,當(dāng)時(shí),求的值;
(4)若在點(diǎn)出發(fā)的同時(shí),點(diǎn)從點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)與矩形也停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為,當(dāng)的一邊與的一邊平行時(shí),直接寫出線段的長(zhǎng).
【答案】(1),;(2)當(dāng)0<t<3時(shí),;當(dāng)3<t<7時(shí),;(3);(4),,
【解析】
(1)過(guò)點(diǎn)B作x軸垂線,利用相似三角形可求得;
(2)分2種情況,一種是點(diǎn)P在AD上,另一種是點(diǎn)P在CD上,然后利用三角形面積公式可求得;
(3)直接令即可求出;
(4)存在3種情況,第一種是:QP∥BD,第二種是EP∥CD或EQ∥CB,第三種是QE∥BD,分別按照幾何性質(zhì)分析求解.
(1)如下圖,過(guò)點(diǎn)B作x軸垂線,垂足為點(diǎn)M
根據(jù)平移的特點(diǎn),可得∠BOM=∠DBA
∵∠BMO=∠DAB=90°,∴△BMO∽△DAB
∵AB=4,AD=BC=3
∴BD=5
∵,OB=t
∴BM=,OM=
(2)情況一:當(dāng)0<t<3時(shí),圖形如下,過(guò)點(diǎn)P作OD的垂線,交OD于點(diǎn)N
∵∠NDP=∠BDA,∠PND=∠BAD,∴△PND∽△BAD
∵AP=t,∴PD=3-t
∵,∴PN=
圖中,OD=5+t
∴
情況二:當(dāng)3<t<7時(shí),圖形如下,過(guò)點(diǎn)P作OD的垂線,交OD于點(diǎn)N
圖中,PD=t-3,OD=5+t
同理,△PND∽△BCD,可得PN=
∴
(3)情況一:當(dāng)0<t<3時(shí)
則h=PN=
∵
∴
解得:t=
情況二:當(dāng)3<t<7時(shí)
則h=PN=
∵
∴
解得:t=7(舍)
(4)情況一:QP∥BD,圖形如下
由題意可得:BQ=,AP=t,則QA=4-,DP=3-t
∵BD∥QP
∴
代入得:4
解得:t=
∴OD=5+t=
情況二:如下圖,EP∥CD(或EQ∥CB)
∵點(diǎn)E是點(diǎn)A關(guān)于QP對(duì)稱的點(diǎn)
∴EP=PA,EQ=QA,QP=QP
∴△APQ≌△EPQ
∵EP∥CD,CD⊥AD
∴EP⊥AD
∴∠APQ=∠EPQ=45°
∴△AQP是等腰直角三角形,AQ=PA
∴4-
解得:t=
∴OD=5+t=
情況三:如下圖,QE∥BD,延長(zhǎng)QE交DA于點(diǎn)N
∵△APQ≌△EPQ,∴∠QEP=∠QAP=90°
∴△ENP是等腰直角三角形
∵QN∥BD,∴∠NQA=∠DBA,∠A=∠A
∴△QNA∽△BDA
∵BQ=,AP=t,QA=4-,DP=3-t
∴
∴QN=5-,NA=3-t
∴EN=QN-QE=QN-QA=1-,NP=NA-AP=3-2t,EP=PA=t
∴在Rt△ENP中,
解得:t=或t=3(舍)
∴OD=5+t=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】今年 3 月 12 日植樹節(jié)期間, 學(xué)校預(yù)購(gòu)進(jìn) A、B 兩種樹苗,若購(gòu)進(jìn) A種樹苗 3 棵,B 種樹苗 5 棵,需 2100 元,若購(gòu)進(jìn) A 種樹苗 4 棵,B 種樹苗 10棵,需 3800 元.
(1)求購(gòu)進(jìn) A、B 兩種樹苗的單價(jià);
(2)若該單位準(zhǔn)備用不多于 8000 元的錢購(gòu)進(jìn)這兩種樹苗共 30 棵,求 A 種樹苗至少需購(gòu)進(jìn)多少棵?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[問(wèn)題]小明在學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:求不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集.
他經(jīng)歷了如下思考過(guò)程:
[回顧]
(1)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2=交于A (1,3)和B(﹣3,﹣1),則不等式ax+b>的解集是 .
[探究]將不等式x3+3x2﹣x﹣3>0按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化:
當(dāng)x=0時(shí),原不等式不成立;
當(dāng)x>0時(shí),不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1>;
當(dāng)x<0時(shí),不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1<.
(2)構(gòu)造函數(shù),畫出圖象:
設(shè)y3=x2+3x﹣1,y4=,在同一坐標(biāo)系中分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象;
雙曲線y4=如圖2所示,請(qǐng)?jiān)诖俗鴺?biāo)系中畫出拋物線y=x2+3x﹣1.(不用列表)
(3)確定兩個(gè)函數(shù)圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo):
觀察所畫兩個(gè)函數(shù)的圖象,猜想并通過(guò)代入函數(shù)解析式驗(yàn)證可知:滿足y3=y4的所有x的值為 .
[解決]
(4)借助圖象,寫出解集:
結(jié)合“探究”中的討論,觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象可知:不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一批貨物準(zhǔn)備運(yùn)往某地,有甲、乙、丙三輛卡車可雇用.已知甲、乙、丙三輛車每次運(yùn)貨量不變,且甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完這批貨物分別用次;甲、丙兩車合運(yùn)相同次數(shù),運(yùn)完這批貨物,甲車共運(yùn)噸;乙、丙兩車合運(yùn)相同次數(shù),運(yùn)完這批貨物乙車共運(yùn)噸,現(xiàn)甲、乙、丙合運(yùn)相同次數(shù)把這批貨物運(yùn)完,貨主應(yīng)付甲車主的運(yùn)費(fèi)為___________ 元.(按每噸運(yùn)費(fèi)元計(jì)算)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖①表示一個(gè)時(shí)鐘的鐘面垂直固定于水平桌面上,其中分針上有一點(diǎn),當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí),分針垂直于桌面,點(diǎn)距離桌面的高度為公分,圖②表示鐘面顯示3點(diǎn)45時(shí),點(diǎn)距桌面的高度為公分,若鐘面顯示3點(diǎn)55時(shí),點(diǎn)距離桌面的高度為__________公分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩車分別從、兩地同時(shí)出發(fā),相向行駛,已知甲車的速度大于乙車的速度,甲車到達(dá)地后馬上以另一速度原路返回地(掉頭的時(shí)間忽略不計(jì)),乙車到達(dá)地以后即停在地等待甲車.如圖所示為甲乙兩車間的距離(千米)與甲車的行駛時(shí)間(小時(shí))之間的函數(shù)圖象,則當(dāng)乙車到達(dá)地的時(shí)候,甲車與地的距離為__________千米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F.
(1)求證:△AEB≌△CFD;
(2)當(dāng)∠ABE= 度時(shí),四邊形BEDF是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),連接DE.過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE,垂足為F,⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D、F,與AD相交于點(diǎn)G.
(1)求證:△AFG∽△DFC;
(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,AE=1,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在一次函數(shù)y=x位于第一象限的圖象上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng),在AB右側(cè)以它為邊作矩形ABCD,且AB=2,AD=1,則OD的最大值是( 。
A.B.+2C.+2D.
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