【題目】如圖1,已知拋物線過點.
(1)求拋物線的解析式及其頂點C的坐標(biāo);
(2)設(shè)點D是x軸上一點,當(dāng)時,求點D的坐標(biāo);
(3)如圖2.拋物線與y軸交于點E,點P是該拋物線上位于第二象限的點,線段PA交BE于點M,交y軸于點N,和的面積分別為,求的最大值.
【答案】(1),頂點C的坐標(biāo)為-(-1,4);(2);(3)的最大值為.
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法,將A,B的坐標(biāo)代入即可求得二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點H,在中,可求得,推出,可證,利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長度,進一步可求出點D的坐標(biāo),由對稱性可直接求出另一種情況;
(3)設(shè)代入,求出直線PA的解析式,求出點N的坐標(biāo),由,可推出,再用含a的代數(shù)式表示出來,最終可用函數(shù)的思想來求出其最大值.
解:(1)由題意把點代入,
得,,
解得,
∴此拋物線解析式為:,頂點C的坐標(biāo)為
(2)∵拋物線頂點,
∴拋物線對稱軸為直線,
設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點H,
則,
在中,,
,
∴當(dāng)時,
如圖1,當(dāng)點D在對稱軸左側(cè)時,
,
,
,
,
,
當(dāng)點D在對稱軸右側(cè)時,點D關(guān)于直線的對稱點D'的坐標(biāo)為,
∴點D的坐標(biāo)為或;
(3)設(shè),
將代入,
得,,
解得,,
當(dāng)時,,
如圖2,
,
由二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)時,有最大值,
和的面積分別為m、n,
的最大值為.
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【題目】南海是我國的南大門,如圖所示,某天我國一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域正在進行常態(tài)化巡航,在A處測得北偏東30°方向上,距離為20海里的B處有一艘不明身份的船只正在向正東方向航行,便迅速沿北偏東75°的方向前往監(jiān)視巡查,經(jīng)過一段時間后,在C處成功攔截不明船只,問我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了多少海里(最后結(jié)果保留整數(shù))?
(參考數(shù)據(jù):cos75°=0.2588,sin75°=0.9659,tan75°=3.732, =1.732, =1.414)
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【題目】【發(fā)現(xiàn)證明】
如圖1,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,通過證明△AEF≌△AGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD.
【類比引申】
(1)如圖2,點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上,∠EAF=45°,連接EF,請根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
【聯(lián)想拓展】
(2)如圖3,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點E、F在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長.
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【題目】今年 3 月 12 日植樹節(jié)期間, 學(xué)校預(yù)購進 A、B 兩種樹苗,若購進 A種樹苗 3 棵,B 種樹苗 5 棵,需 2100 元,若購進 A 種樹苗 4 棵,B 種樹苗 10棵,需 3800 元.
(1)求購進 A、B 兩種樹苗的單價;
(2)若該單位準(zhǔn)備用不多于 8000 元的錢購進這兩種樹苗共 30 棵,求 A 種樹苗至少需購進多少棵?
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC.將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF,其中點E在邊BC上,DE與AC相交于點O.連接AE、DC、AD,當(dāng)點E在什么位置時,四邊形AECD為矩形,并說明理由.
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【題目】大學(xué)畢業(yè)生小李自主創(chuàng)業(yè),開了一家小商品超市.已知超市中某商品的進價為每件20元,售價為每件30元,每個月可賣出180件;如果每件商品的售價每上漲1元,則每個月就會少賣出10件,但每件售價必須低于34元,設(shè)每件商品的售價上漲元(為非負整數(shù)),每個月的銷售利潤為元.
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量的取值范圍;
(2)利用函數(shù)關(guān)系式求出每件商品的售價為多少元時,每個月可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)利用函數(shù)關(guān)系式求出每件商品的售價定為多少元時,每個月的利潤恰好是1920元?這時每件商品的利潤率是多少?
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AD⊥CD,(點D在⊙O外)AC平分∠BAD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若DC、AB的延長線相交于點E,且DE=12,AD=9,求BE的長.
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【題目】[問題]小明在學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題:求不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集.
他經(jīng)歷了如下思考過程:
[回顧]
(1)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2=交于A (1,3)和B(﹣3,﹣1),則不等式ax+b>的解集是 .
[探究]將不等式x3+3x2﹣x﹣3>0按條件進行轉(zhuǎn)化:
當(dāng)x=0時,原不等式不成立;
當(dāng)x>0時,不等式兩邊同除以x并移項轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1>;
當(dāng)x<0時,不等式兩邊同除以x并移項轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1<.
(2)構(gòu)造函數(shù),畫出圖象:
設(shè)y3=x2+3x﹣1,y4=,在同一坐標(biāo)系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象;
雙曲線y4=如圖2所示,請在此坐標(biāo)系中畫出拋物線y=x2+3x﹣1.(不用列表)
(3)確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標(biāo):
觀察所畫兩個函數(shù)的圖象,猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知:滿足y3=y4的所有x的值為 .
[解決]
(4)借助圖象,寫出解集:
結(jié)合“探究”中的討論,觀察兩個函數(shù)的圖象可知:不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F.
(1)求證:△AEB≌△CFD;
(2)當(dāng)∠ABE= 度時,四邊形BEDF是菱形.
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