Question

2．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=37°，AB=5，AC=4，BC=3，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，交邊AB于點(diǎn)D，分別過點(diǎn)A，B作AF⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)線段BE，AF的長度分別為d₁，d₂．
（1）求△ABC的面積；
（2）若直線MN從與CB重合位置開始順時(shí)針繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，至與CA重合時(shí)停止，在旋轉(zhuǎn)過程中，試求出d₁+d₂的最大值，并求出此時(shí)直線MN旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)（即∠BCD的度數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）過B作BG⊥AF于G，得到四邊形BEFG是矩形，由矩形的性質(zhì)得到GF=BE，得到AG=d₁+d₂，于是推出當(dāng)點(diǎn)G與B重合時(shí)，AG的值最大，即d₁+d₂的最大值=AB=5，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}×3×4$=6；

（2）過B作BG⊥AF于G，
∵AF⊥MN，BE⊥MN，
∴四邊形BEFG是矩形，
∴GF=BE，
∴AG=d₁+d₂，
∴當(dāng)點(diǎn)G與B重合時(shí)，AG的值最大，即d₁+d₂的最大值=AB=5，
此時(shí)MN⊥AB，即CD⊥AB，
∵∠BAC=37°，
∴∠BCD=∠BAC=37°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．