Question

12．方程$\sqrt{{x}^{2}-x+2-2\sqrt{{x}^{2}-2x+1}}$=3的所有實(shí)數(shù)的和為$\frac{2+\sqrt{29}-\sqrt{37}}{2}$．

Answer 1

分析 由于$\sqrt{{x}^{2}-2x+1}$=|x-1|，所以分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)x≥1時(shí)，|x-1|=x-1，原方程化為$\sqrt{{x}^{2}-3x+4}$=3；②當(dāng)x＜1時(shí)，|x-1|=1-x，原方程化為$\sqrt{{x}^{2}+x}$=3．分別把方程兩邊平方去根號(hào)后求解．

解答 解：∵$\sqrt{{x}^{2}-2x+1}$=|x-1|，
∴$\sqrt{{x}^{2}-x+2-2\sqrt{{x}^{2}-2x+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}-x+2-2|x-1|}$．
分兩種情況：①當(dāng)x≥1時(shí)，|x-1|=x-1，
原方程可化為$\sqrt{{x}^{2}-3x+4}$=3，
兩邊平方得，x²-3x+4=9，
整理，得x²-3x-5=0，
∵△=9-4×1×（-5）=29，
∴x=$\frac{3±\sqrt{29}}{2}$，
x₁=$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$（不合題意舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，知x=$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$是原方程的解；
②當(dāng)x＜1時(shí)，|x-1|=1-x，
原方程可化為$\sqrt{{x}^{2}+x}$=3，
兩邊平方得，x²+x=9，
整理，得x²+x-9=0，
∵△=1-4×1×（-9）=37，
∴x=$\frac{-1±\sqrt{37}}{2}$，
x₁=$\frac{-1-\sqrt{37}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{37}}{2}$（不合題意舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，知x=$\frac{-1-\sqrt{37}}{2}$是原方程的解．
∴方程$\sqrt{{x}^{2}-x+2-2\sqrt{{x}^{2}-2x+1}}$=3的所有實(shí)數(shù)的和為：$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$+$\frac{-1-\sqrt{37}}{2}$=$\frac{2+\sqrt{29}-\sqrt{37}}{2}$．
故答案為$\frac{2+\sqrt{29}-\sqrt{37}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了無理方程的解法．在解無理方程時(shí)最常用的方法是兩邊平方法及換元法，本題用了平方法．注意解無理方程一定要驗(yàn)根．進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．