Question

4．如圖所示，分別以Rt△ABC的直角邊AC，斜邊AB為邊向△ABC外構(gòu)造等邊△ACD和等邊△ABE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接DF，EF，∠ACB=90°，∠ABC=30°．有下列四個(gè)結(jié)論：①AC⊥DF；②四邊形BCDF為平行四邊形；③DA+DF=BE；④$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{四邊形BCDE}}$=$\frac{1}{6}$．其中正確的結(jié)論是①②（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷②，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)判斷①，根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷③，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)分別求出△ACD、△ACB、△ABE的面積，計(jì)算即可判斷④．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，AC=$\frac{1}{2}$AB，
∵△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F為AB的中點(diǎn)，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴BF∥AB，CD=BF，
∴四邊形BCDF為平行四邊形，②正確；
∵四邊形BCDF為平行四邊形，
∴DF∥BC，又∠ACB=90°，
∴AC⊥DF，①正確；
∵DA=CA，DF=BC，AB=BE，BC+AC＞AB
∴DA+DF＞BE，③錯(cuò)誤；
設(shè)AC=x，則AB=2x，
S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，S_△ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，S_△ABE=$\sqrt{3}$x²，
$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{四邊形BCDE}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}+\sqrt{3}{x}^{2}}$=$\frac{1}{7}$，④錯(cuò)誤，
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、等邊三角形的有關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．