Question

12．如圖，已知等邊△ABC和等邊△BPE，點P在BC的延長線上，EC的延長線交AP于M，連BM．若∠ABM=40°，則∠APB=（　�。�

• A． 40°
• B． 45°
• C． 50°
• D． 60°

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ABP=∠CBE=60°，PB=PE，證得△APB≌△CEB （SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠APB=∠CEB，于是得到∠PME=∠PBE=60゜，作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，通過△BNP≌△BFE（AAS），得到BN=BF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BM平分∠AME，求得∠AMB=$\frac{1}{2}∠$AME=$\frac{1}{2}×120°$=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結論．

解答 證明：∵等邊△ABC和等邊△BPE，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBE=60°，PB=PE，
在△APB和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBE}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△CEB （SAS），
∴∠APB=∠CEB，
∵∠MCP=∠BCE，
∴∠PME=∠PBE=60゜，
作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，
∵△APB≌△CEB，
∴BP=BE，∠BPN=∠FEB，
在△BNP和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BNP=∠BFE}\\{∠NPB=∠FEB}\\{PB=EB}\end{array}\right.$，
∴△BNP≌△BFE（AAS），
∴BN=BF，
∴BM平分∠AME，
∴∠AMB=$\frac{1}{2}∠$AME=$\frac{1}{2}×120°$=60°，
∵∠ABM=40°，
∴∠BAP=80°，
∴∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=40°．
故選A．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握全等三角形的判定是解題關鍵．