【題目】如圖,一次函數(shù)y=﹣x+5的圖象與坐標軸交于A,B兩點,與反比例函數(shù)y=的圖象交于M,N兩點,過點M作MC⊥y軸于點C,且CM=1,過點N作ND⊥x軸于點D,且DN=1.已知點P是x軸(除原點O外)上一點.
(1)直接寫出M、N的坐標及k的值;
(2)將線段CP繞點P按順時針或逆時針旋轉90°得到線段PQ,當點P滑動時,點Q能否在反比例函數(shù)的圖象上?如果能,求出所有的點Q的坐標;如果不能,請說明理由;
(3)當點P滑動時,是否存在反比例函數(shù)圖象(第一象限的一支)上的點S,使得以P、S、M、N四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出符合題意的點S的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)M(1,4),N(4,1),k=4;(2)(2+2,﹣2+2)或(2﹣2,﹣2﹣2)或(﹣2,﹣2);(3)(,5)或(,3).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題;
(2)分三種情形求解:①如圖2,點P在x軸的正半軸上時,繞P順時針旋轉到點Q,根據(jù)△COP≌△PHQ,得CO=PH,OP=QH,設P(x,0),表示Q(x+4,x),代入反比例函數(shù)的關系式中可得Q的兩個坐標;②如圖3,點P在x軸的負半軸上時;③如圖4,點P在x軸的正半軸上時,繞P逆時針旋轉到點Q,同理可得結論.
(3)分兩種情形分別求解即可;
解:(1)由題意M(1,4),n(4,1),
∵點M在y=上,
∴k=4;
(2)當點P滑動時,點Q能在反比例函數(shù)的圖象上;
如圖1,CP=PQ,∠CPQ=90°,
過Q作QH⊥x軸于H,
易得:△COP≌△PHQ,
∴CO=PH,OP=QH,
由(2)知:反比例函數(shù)的解析式:y=;
當x=1時,y=4,
∴M(1,4),
∴OC=PH=4
設P(x,0),
∴Q(x+4,x),
當點Q落在反比例函數(shù)的圖象上時,
x(x+4)=4,
x2+4x+4=8,
x=﹣2±,
當x=﹣2±時,x+4=2+,如圖1,Q(2+2,2+2);
當x=﹣2﹣2時,x+4=2﹣2,如圖2,Q(2﹣2,2﹣2);
如圖3,CP=PQ,∠CPQ=90°,設P(x,0)
過P作GH∥y軸,過C作CG⊥GH,過Q作QH⊥GH,
易得:△CPG≌△PQH,
∴PG=QH=4,CG=PH=x,
∴Q(x﹣4,﹣x),
同理得:﹣x(x﹣4)=4,
解得:x1=x2=2,
∴Q(﹣2,﹣2),
綜上所述,點Q的坐標為(2+2,﹣2+2)或(2﹣2,﹣2﹣2)或(﹣2,﹣2).
(3)當MN為平行四邊形的對角線時,根據(jù)MN的中點的縱坐標為,可得點S的縱坐標為5,即S(,5);
當MN為平行四邊形的邊時,易知點S的縱坐標為3,即S(,3);
綜上所述,滿足條件的點S的坐標為(,5)或(,3).
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【題目】如圖,已知:在△ABC中,AB=AC,BD是AC邊上的中線,AB=13,BC=10,
(1)求△ABC的面積;
(2)求tan∠DBC的值.
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【題目】哈爾濱市教育局以冰雪節(jié)為契機,在全市校園內開展多姿多彩的冰雪活動.某校為激發(fā)學生參與冰雪體育活動熱情,開設了“滑冰、抽冰尜、冰球、冰壺、雪地足球”五個冰雪項目,并開展了以“我最喜歡的冰雪項目”為主題的調查活動,圍繞“在滑冰、抽冰尜、冰球、冰壺、雪地足球中,你最喜歡的冰雪項目是什么?(每名學生必選且只選一個)”的問題在全校范圍內隨機抽取了部分學生進行問卷調查,根據(jù)調查結果繪制了如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)統(tǒng)計圖的信息回答下列問題:
(1)本次調查共抽取了多少名學生?
(2)求本次調查中,最喜歡冰球項目的人數(shù),并補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該中學共有1800名學生,請你估計該中學最喜歡雪地足球的學生約有多少名.
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【題目】如圖,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的頂點C是的中點,點D在OB上,點E在OB的延長線上,當正方形CDEF的邊長為2時,陰影部分的面積為________
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,點D為邊AB的中點.點P從點A出發(fā),沿AC方向以每秒1個單位長度的速度向終點C運動,同時點Q從點C出發(fā),以每秒2個單位長度的速度先沿CB方向運動到點B,再沿BA方向向終點A運動,以DP、DQ為鄰邊構造PEQD,設點P運動的時間為t秒.
(1)設點Q到邊AC的距離為h,直接用含t的代數(shù)式表示h;
(2)當點E落在AC邊上時,求t的值;
(3)當點Q在邊AB上時,設PEQD的面積為S(S>0),求S與t之間的函數(shù)關系式;
(4)連接CD,直接寫出CD將PEQD分成的兩部分圖形面積相等時t的值.
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【題目】某市民廣場有一個直徑16米的圓形噴水池,噴水池的周邊有一圈噴水頭(噴水頭高度忽略不計),各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物OA的頂端A處匯合,水柱離中心3米處達最高5米,如圖所示建立直角坐標系.王師傅在噴水池內維修設備期間,噴水管意外噴水,為了不被淋濕,身高1.8米的他站立時必須在離水池中心O________米以內.
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【題目】綜合與探究
如圖,拋物線經(jīng)過點A(-2,0),B(4,0)兩點,與軸交于點C,點D是拋物線上一個動點,設點D的橫坐標為.連接AC,BC,DB,DC,
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時,求的值;
(3)在(2)的條件下,若點M是軸上的一個動點,點N是拋物線上一動點,試判斷是否存在這樣的點M,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在,請直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,平面直角坐標系中,矩形的邊、分別落在、軸上,點坐標為,反比例函數(shù)的圖象與邊交于點,與邊交于點,連結,將沿翻折至處,點恰好落在正比例函數(shù)圖象上,則的值是
A. B. C. D.
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【題目】近幾年購物的支付方式日益增多,某數(shù)學興趣小組就此進行了抽樣調查,調查結果顯示支付方式有:微信、支付寶、現(xiàn)金、其他.該小組對某超市一天內購買者的支付方式進行調查統(tǒng)計,得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次一共調查了 名購買者?
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;在扇形統(tǒng)計圖中,種支付方式所對應的圓心角為 度;
(3)若該超市這一周內有2000名購買者,請你估計使用和兩種支付方式的購買者共有多少名?
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