Question

如圖，正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DE平分∠CDB交BC于E，交AC于F，則BC：OF=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)正方形的對角線平分一組對角線可得∠BDC=45°，根據(jù)角平分線的定義可得∠BDE=∠CDE=22.5°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠OFD=∠CED=67.5°，根據(jù)對頂角相等可得∠OFD=∠CFE，從而得到∠CED=∠CFE，根據(jù)等角對等邊可得CE=CF，設(shè)正方形的邊長為2x，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出OC=OD=

2

x，再用OF表示出CF，即CE，然后利用△ODF和△CDE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OF，然后求出比值即可．

解答：解：在正方形ABCD中，∠BDC=45°，
∵DE平分∠CDB，
∴∠BDE=∠CDE=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠OFD=∠CED=90°-22.5°=67.5°，
∵∠OFD=∠CFE（對頂角相等），
∴∠CED=∠CFE，
∴CE=CF，
設(shè)正方形的邊長為2x，
則OC=OD=

2

2

×2x=

2

x，
∴CF=

2

x-OF，
∵∠BDE=∠CDE，∠DOF=∠DCE=90°，
∴△ODF∽△CDE，
∴

OF

CE

=

OD

CD

，
即

OF

2 x-OF

=

2 x

2x

，
解得OF=（2-

2

）x，
∴BC：OF=2x：（2-

2

）x=2+

2

．
故答案為：2+

2

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，設(shè)出正方形的邊長并表示出OF是本題的難點(diǎn)．