Question

如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF．以下結(jié)論：
①AD∥BC；
②∠ACB=2∠ADB；
③∠ADC=90°-∠ABD；
④BD平分∠ADC；
⑤∠BDC=

1

2

∠BAC．
其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A、2個
• B、3個
• C、4個
• D、5個

Answer 1

考點：三角形的外角性質(zhì),平行線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，根據(jù)角平分線的定義可得∠EAC=2∠EAD，然后求出∠EAD=∠ABC，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得AD∥BC，判斷出①正確；
根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ADB=∠CBD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ABC=2∠CBD，從而得到∠ACB=2∠ADB，判斷出②正確；
根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ADC=∠DCF，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和和角平分線的定義整理可得∠ADC=90°-∠ABD，判斷出③正確；
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)與角平分線的定義表示出∠DCF，然后整理得到∠BDC=

1

2

∠BAC，判斷出⑤正確，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CBD=∠ADB，∠ABC與∠BAC不一定相等，所以∠ADB與∠BDC不一定相等，判斷出④錯誤．

解答：解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，
∵AD是∠EAC的平分線，
∴∠EAC=2∠EAD，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，故①正確，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBD，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，故②正確；
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，
∵CD是∠ACF的平分線，
∴∠ADC=

1

2

∠ACF=

1

2

（∠ABC+∠BAC）=

1

2

（180°-∠ACB）=

1

2

（180°-∠ABC）=90°-∠ABD，故③正確；
由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠DCF=∠BDC+∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCF=

1

2

∠ACF，
∴∠BDC+∠DBC=

1

2

（∠ABC+∠BAC）=

1

2

∠ABC+

1

2

∠BAC=∠DBC+

1

2

∠BAC，
∴∠BDC=

1

2

∠BAC，故⑤正確；
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∵∠ABC與∠BAC不一定相等，
∴∠ADB與∠BDC不一定相等，
∴BD平分∠ADC不一定成立，故④錯誤；
綜上所述，結(jié)論正確的是①②③⑤共4個．
故選C．

點評：本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并綜合分析，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．