【題目】直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),⊙E經(jīng)過原點(diǎn)O及A、B兩點(diǎn),C是⊙E上一點(diǎn),連接BC交OA于點(diǎn)D,∠COD=∠CBO.
(1)求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線解析式;
(3)直線AB上是否存在點(diǎn)P,使得△COP的周長(zhǎng)最?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B(0,),點(diǎn)C(,);(2)y=x2﹣x;(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).
【解析】分析:(1)由直線y=-x+分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),即可求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo),然后連接EC,交x軸于點(diǎn)H,由∠COD=∠CBO,根據(jù)垂徑定理的即可求得OH與AH的長(zhǎng),由勾股定理,可求得AB的長(zhǎng),EH的長(zhǎng),繼而求得點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)利用待定系數(shù)法即可求得經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線解析式;
(3)由OC已知,可得當(dāng)OP+CP最小時(shí),△COP的周長(zhǎng)最。贿^點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F,并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)K,連接CK交直線AB于點(diǎn)P,此點(diǎn)即為所求;易證得CK是直徑,則可得點(diǎn)P與點(diǎn)E重合,繼而求得P點(diǎn)坐標(biāo).
詳解:(1)∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),
∴當(dāng)x=0時(shí),y=,當(dāng)y=0時(shí),x=3,
∴點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B(0,)
∴AB==2,
∴AE=BE=AB=,
如圖1,連接EC,交x軸于點(diǎn)H,
∵∠COD=∠CBO,
∴,
∴EC⊥OA,OC=AC,
∴OH=AH=OA=,
在Rt△AEH中,EH=
∴CH=EC﹣EH=,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,﹣);
(2)設(shè)經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax(x﹣3),
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,﹣);
∴﹣=a××(﹣3),
解得:a=,
∴經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為:y=x2﹣x;
(3)存在.
∵OC=,
∴當(dāng)OP+CP最小時(shí),△COP的周長(zhǎng)最小,
如圖2,過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F,并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)K,連接CK交直線AB于點(diǎn)P,此點(diǎn)P即為所求;
∵∠OAB=30°,
∴∠AOF=60°,
∵∠COD=30°,
∴∠COK=90°,
∴CK是直徑,
∵點(diǎn)P在直線AB上,
∴點(diǎn)P與點(diǎn)E重合;
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為:,
∴y=﹣×+=,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2﹣x﹣2與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C.
(1)求直線AC的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥AC,垂足為D,當(dāng)線段PD的長(zhǎng)度最大時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā),先以每秒1個(gè)單位的速度沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的點(diǎn)M處,再沿MC以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,當(dāng)點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用時(shí)間t最少時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2,將△BOC沿直線BC平移,平移后B,O,C三點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是B′,O′,C′,點(diǎn)S是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),若以A,C,O′,S為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)S的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:一個(gè)自然數(shù),右邊的數(shù)字總比左邊的數(shù)字小,我們稱它為“下滑數(shù)”(如:32,641,8531等).現(xiàn)從兩位數(shù)中任取一個(gè),恰好是“下滑數(shù)”的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】重慶育才中學(xué)需要為老校友們訂制周年紀(jì)念吉祥物“陶娃”,原計(jì)劃訂份,每份元,訂制公司表示:如果多訂,可以優(yōu)惠.根據(jù)校慶當(dāng)天前來的校友數(shù)量,學(xué)校最終訂了份,并按原價(jià)八折購(gòu)買,但訂制公司獲得了同樣的利潤(rùn).
(1)求訂制公司生產(chǎn)每套“陶娃”的成本;
(2)求訂制公司獲得的利潤(rùn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2,將正方形紙片折疊,使頂點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)P處(點(diǎn)P與C、D不重合),折痕為EF,折疊后AB邊落在PQ的位置,PQ與BC交于點(diǎn)G.
(1)觀察操作結(jié)果,找到一個(gè)與△EDP相似的三角形,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時(shí),你找到的三角形與△EDP周長(zhǎng)的比是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)軸上有、、三個(gè)點(diǎn),分別表示有理數(shù)、、,兩條動(dòng)線段和,,,如圖,線段以每秒個(gè)單位的速度從點(diǎn)開始一直向右勻速運(yùn)動(dòng),線段同時(shí)以每秒個(gè)單位的速度從點(diǎn)開始向右勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí),線段立即以相同的速度返回,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),線段、立即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒(整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,線段和保持長(zhǎng)度不變,且點(diǎn)總在點(diǎn)的左邊,點(diǎn)總在點(diǎn)的左邊)
(1)當(dāng)為何值時(shí),點(diǎn)和點(diǎn)重合?
(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,線段和重合部分長(zhǎng)度能否為,若能,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù);若不能,請(qǐng)說明理.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算題
(1) - 6 - 7 – 8
(2)6- 3.3- (-6) -(-3) 4 3.3
(3)
(4)
(5)
(6)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校初二開展英語(yǔ)拼寫大賽,愛國(guó)班和求知班根據(jù)初賽成績(jī),各選出5名選手參加復(fù)賽,兩個(gè)班各選出的5名選手的復(fù)賽成績(jī)?nèi)鐖D所示:
(1)根據(jù)圖示填寫下表:
班級(jí) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | 平均數(shù)(分) |
愛國(guó)班 | 85 | ||
求知班 | 100 | 85 |
(2)結(jié)合兩班復(fù)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個(gè)班級(jí)的復(fù)賽成績(jī)比較好?
(3)已知愛國(guó)班復(fù)賽成績(jī)的方差是70,請(qǐng)求出求知班復(fù)賽成績(jī)的方差,并說明哪個(gè)班成績(jī)比較穩(wěn)定?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】聰聰參加我市電視臺(tái)組織的“陽(yáng)光杯”智力競(jìng)答節(jié)目,答對(duì)最后兩道單選題就順利通關(guān),第一道單選題有個(gè)選項(xiàng),第二道單選題有4個(gè)選項(xiàng),這兩道題聰聰都不會(huì),不過聰聰還有兩個(gè)“求助”可以用(使用“求助”一次可以讓主持人去掉其中一題的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)).
(1)如果聰聰兩次“求助”都在第一道題中使用,那么聰聰通關(guān)的概率是 .
(2)如果聰聰將每道題各用一次“求助”,請(qǐng)用樹狀圖或者列表來分析他順利通關(guān)的概率.
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