Question

【題目】直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，⊙E經(jīng)過原點(diǎn)O及A、B兩點(diǎn)，C是⊙E上一點(diǎn)，連接BC交OA于點(diǎn)D，∠COD=∠CBO．

（1）求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線解析式；

（3）直線AB上是否存在點(diǎn)P，使得△COP的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，），點(diǎn)C（，）；（2）y=x2﹣x；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

【解析】分析：（1）由直線y=-x+分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，即可求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后連接EC，交x軸于點(diǎn)H，由∠COD=∠CBO，根據(jù)垂徑定理的即可求得OH與AH的長(zhǎng)，由勾股定理，可求得AB的長(zhǎng)，EH的長(zhǎng)，繼而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）由OC已知，可得當(dāng)OP+CP最小時(shí)，△COP的周長(zhǎng)最��；過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)K，連接CK交直線AB于點(diǎn)P，此點(diǎn)即為所求；易證得CK是直徑，則可得點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，繼而求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

詳解：（1）∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=，當(dāng)y=0時(shí)，x=3，

∴點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，）

∴AB==2，

∴AE=BE=AB=，

如圖1，連接EC，交x軸于點(diǎn)H，

∵∠COD=∠CBO，

∴，

∴EC⊥OA，OC=AC，

∴OH=AH=OA=，

在Rt△AEH中，EH==，

∴CH=EC﹣EH=，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，﹣）；

（2）設(shè)經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax（x﹣3），

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，﹣）；

∴﹣=a××（﹣3），

解得：a=，

∴經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=x2﹣x；

（3）存在．

∵OC=，

∴當(dāng)OP+CP最小時(shí)，△COP的周長(zhǎng)最小，

如圖2，過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)K，連接CK交直線AB于點(diǎn)P，此點(diǎn)P即為所求；

∵∠OAB=30°，

∴∠AOF=60°，

∵∠COD=30°，

∴∠COK=90°，

∴CK是直徑，

∵點(diǎn)P在直線AB上，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；

∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：，

∴y=﹣×+=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．