Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2﹣x﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．

（1）求直線AC的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為D，當(dāng)線段PD的長度最大時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，先以每秒1個(gè)單位的速度沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的點(diǎn)M處，再沿MC以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，當(dāng)點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用時(shí)間t最少時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將△BOC沿直線BC平移，平移后B，O，C三點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別是B′，O′，C′，點(diǎn)S是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以A，C，O′，S為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)S的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x﹣2；（2）M（0，），（3）（，）或（，）或（，）或（，）或（，）

【解析】分析：(1)、根據(jù)題意分別求出點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(2)、過點(diǎn)P作PE∥y軸交直線AC于點(diǎn)E，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得出PE的長度，根據(jù)△PDE和△AOC相似得出PD的長度，然后證明出△CHM和△COF相似，△PKM和△COF相似，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)、根據(jù)菱形的性質(zhì)分別分五種情況進(jìn)行討論，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

詳解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2﹣x﹣2=0，解這個(gè)方程，得：x1=﹣6，x2=﹣1，

∴點(diǎn)A（﹣6，0），B（﹣1，0）， 當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2， ∴C（0，﹣2），

設(shè)直線AC的解析式為：y=ax+b（a≠0），

將點(diǎn)A（﹣6，0），C（0，﹣2）代入得：， ∴，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣2；

（2）如圖1，過點(diǎn)P作PE∥y軸交直線AC于點(diǎn)E，

設(shè)P（a，﹣），則點(diǎn)E（a，﹣﹣2），

∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a，

∵AO=6，OC=2， ∴AC===2，

∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO， ∴△PDE∽△AOC， ∴=，

∴PD=PE==﹣﹣， 對稱軸是：a=﹣3，

∵﹣，

∴當(dāng)a=﹣3時(shí)，PD的長度最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，2），

如圖1所示，在x軸上取點(diǎn)F（1，0），連接CF并延長，

∴CF===3， ∴sin∠OCF==，

點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MH⊥CF于點(diǎn)H，

由△CHM∽△COF，可知： =， ∵t==PM+MH，

如圖2，當(dāng)P、M、H在同一直線上時(shí)，t的值最小，此時(shí)，過P作PK⊥y軸于K，

由△PKM∽△COF，可知： =2， ∴KM=， ∴M（0，），

（3）如圖3，當(dāng)四邊形ACSO'是菱形時(shí)，過S作SG⊥y軸于G，延長O'C'交x軸于H，

∵四邊形ACSO'是菱形， ∴AO'=AC=SC，AO'∥SC， ∴∠AMC=∠BCS，

∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS， ∵∠MC'O'=∠BCO， ∴∠AO'H=∠OCS，

∵∠AHO'=∠CGS， ∴△O'AH≌△CSG， ∴AH=SG，O'H=CG，

Rt△OCB中，sin∠OCB==， ∴sin∠BC'H==，

設(shè)BH=x，則BC'=3x， ∴C'H=2x， ∴AH=SG=5﹣x， ∵O'C'=OC=2，

∴C'H=OG=2x， 由勾股定理得：AC2=O'A2， ∴AO2+OC2=O'H2+AH2，

∴=（5﹣x）2+（2+2x）2， 解得：x=，

當(dāng)x=時(shí)，SG=5﹣x=，OG=2x=，

當(dāng)x=＜0時(shí)，不符合題意，舍去，SG=5﹣x=，OG=2x=，

此時(shí)S的坐標(biāo)為：或；

②如圖4，過S作SH⊥AO于H，延長O'B'到y(tǒng)軸交于G， ∵SE∥CF，EC∥SF，

∴四邊形SECF是平行四邊形， ∴∠ESF=∠ECF， ∵四邊形ASO'C是菱形，

∴∠ASO'=∠ACO'， ∴∠ASH=∠O'CG， 同理得：△ASH≌△O'CG， ∴AH=O'G，SH=CG，

sin∠GCB'==， 設(shè)GB'=x，則CB'=3x，CG=2x， ∴O'G=1+x，

由勾股定理得：AC2=O'C2， ∴62+（2）2=（2x）2+（x+1）2，解得：x=，

當(dāng)x=時(shí)，SH=CG=2x=，OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=，

當(dāng)x=＜0時(shí)，不符合題意，舍去，

此時(shí)，點(diǎn)S的坐標(biāo)為：（，）；

③如圖5，AC為對角線時(shí)，同理可得S（，）

④如圖6，過S作SE⊥x軸于E，延長B'O'交y軸于H，延長O'C'交x軸于G，

設(shè)GB'=x，則CB'=3x，CG=2x， ∴O'G=O'H=1+x， ∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS，

易得△SEA≌△CHO'， 同理可得S（，）；

⑤如圖7，過S作SH⊥x軸于H，過O'作O'E⊥SH于E，延長C'O'交x軸于G，

設(shè)OG=x，則BG=1+x， ∵O'B'∥BG， ∴， ∴，

∴C'G=2（1+x）， ∴O'G=C'G﹣C'O'=2x， ∴AG=1+x，

同理得：62+（2）2=（1+x）2+（2x）2，

解得：x1=，x2=（舍）， 可得S；

綜上所述，S的坐標(biāo)為：或或（，）或（，）或（，）．