Question

5．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點A的坐標(biāo)為（-1，0），與y軸交于點C（0，3），作直線BC．動點P在x軸上運動，過點P作PM⊥x軸，交拋物線于點M，交直線BC于點N，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；
（2）當(dāng)點P在線段OB上運動時，求線段MN的最大值；
（3）當(dāng)點P在線段OB上運動時，若△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時，求m的值；
（4）當(dāng)以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出m的值．

Answer 1

分析 （1）由A、C兩點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，則可求得B點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；
（2）用m可分別表示出N、M的坐標(biāo)，則可表示出MN的長，再利用二次函數(shù)的最值可求得MN的最大值；
（3）由題意可得當(dāng)△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時則有MN=MC，且MC⊥MN，則可求表示出M點坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得m的值；
（4）由條件可得出MN=OC，結(jié)合（2）可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．

解答 解：
（1）∵拋物線過A、C兩點，
∴代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
令y=0可得，-x²+2x+3=0，解x₁=-1，x₂=3，
∵B點在A點右側(cè)，
∴B點坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+s，
把B、C坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+s=0}\\{s=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{s=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-x+3；
（2）∵PM⊥x軸，點P的橫坐標(biāo)為m，
∴M（m，-m²+2m+3），N（m，-m+3），
∵P在線段OB上運動，
∴M點在N點上方，
∴MN=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，MN有最大值，MN的最大值為$\frac{9}{4}$；
（3）∵PM⊥x軸，
∴當(dāng)△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時，則有CM⊥MN，
∴M點縱坐標(biāo)為3，
∴-m²+2m+3=3，解得m=0或m=2，
當(dāng)m=0時，則M、C重合，不能構(gòu)成三角形，不符合題意，舍去，
∴m=2；
（4）∵PM⊥x軸，
∴MN∥OC，
當(dāng)以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，則有OC=MN，
當(dāng)點P在線段OB上時，則有MN=-m²+3m，
∴-m²+3m=3，此方程無實數(shù)根，
當(dāng)點P不在線段OB上時，則有MN=-m+3-（-m²+2m+3）=m²-3m，
∴m²-3m=3，解得m=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或m=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，
綜上可知當(dāng)以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，m的值為$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及分類討論思想等知識點．在（2）中用m表示出MN的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出CM⊥MN是解題的關(guān)鍵，在（4）中由平行四邊形的性質(zhì)得到OC=MN是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．