Question

我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．
（1）請(qǐng)你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；
（2）開(kāi)動(dòng)腦筋想一想，相信你能求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式．
（3）如果直線x=m在線段OB上移動(dòng)，交x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F．連接DE和BE后，對(duì)于問(wèn)題“是否存在這樣的點(diǎn)E，使△BDE的面積最大？”小明同學(xué)認(rèn)為：“當(dāng)E為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，△BDE的面積最大．”他的觀點(diǎn)是否正確？提出你的見(jiàn)解，若△BDE的面積存在最大值，請(qǐng)求出m的值以及點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．再根據(jù)點(diǎn)A、B、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2得到A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)值，代入即可寫(xiě)出方程組，解得a、b、c的值．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)D（0，-3）的“蛋圓”切線的解析式為y=kx-3．根據(jù)點(diǎn)D是“蛋圓”與“蛋圓”切線的解析式為y=kx-3的交點(diǎn)．那么聯(lián)立這兩式．根據(jù)判別式△=0，即可得到k的取值．那么過(guò)點(diǎn)D（0，-3）的“蛋圓”切線也就確定．
（3）首先確定出B、D、F、E的坐標(biāo)值．再根據(jù)S_△BDE=S_△BDF+S_△DEF通過(guò)它們的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的差值表示兩個(gè)三角形的面積．再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，使△BDE的面積最大時(shí)，求得m的值．進(jìn)而驗(yàn)證小明的觀點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
根據(jù)題意知A、B、D點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-1，0）、（3，0）、（0，-3），
則可列方程組

0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c

，
解得c=-3、a=1、b=-2，
∴“蛋圓”拋物線部分的解析式為y=x²-2x-3（-1≤x≤3）；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)D（0，-3）的“蛋圓”切線的解析式為y=kx-3，
將其代入拋物線部分的解析式為y=x²-2x-3得
kx-3=x²-2x-3，即x²-（2+k）x=0，
∵△=（2+k）²=0，
∴k=-2，
∴過(guò)點(diǎn)D（0，-3）的“蛋圓”切線的解析式為y=-2x-3；

（3）由上面知B、D點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（3，0）、（0，-3），
則直線BD的解析式為y=x-3，
∵點(diǎn)F為直線x=m與直線BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E為直線x=m與拋物線y=x²-2x-3的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m-3），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3），
∴S_△BDE=S_△BDF+S_△DEF=

1

2

×EF×OD+

1

2

×EF×DB，
=

1

2

×EF×OB，
=

1

2

[m-3-(m2-2m-3)]×3，
=

3

2

(3m-m2)，
=-

3

2

(m-

3

2

)2+

27

8

，
又∵0≤m≤3，
∴當(dāng)m=

3

2

，S_△BDE取最大值

27

8

，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

3

2

，-

9

4

），
∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，-4），
∴小明同學(xué)認(rèn)為：“當(dāng)E為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，△BDE的面積最大．”這樣的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的．
答：（1）“蛋圓”拋物線部分的解析式為y=x²-2x-3（-1≤x≤3）．
（2）過(guò)點(diǎn)D（0，-3）的“蛋圓”切線的解析式為y=-2x-3．
（3）存在這樣的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

3

2

，-

15

4

），使△BDE的面積最大為

27

8

；小明同學(xué)認(rèn)為：“當(dāng)E為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，△BDE的面積最大．”這樣的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意動(dòng)點(diǎn)的取值范圍，求三角形面積時(shí)注意坐標(biāo)差值的符號(hào)．