Question

我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．
（1）請(qǐng)你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）你能求出經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看；
（3）開動(dòng)腦筋想一想，相信你能求出經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式．

Answer 1

分析：（1）易得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，用交點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)解析式，把D坐標(biāo)代入即可．自變量的取值范圍是點(diǎn)A、B之間的數(shù)．
（2）先設(shè)出切線與x軸交于點(diǎn)E．利用直角三角形相應(yīng)的三角函數(shù)求得EM的長(zhǎng)，進(jìn)而求得點(diǎn)E坐標(biāo)，把C、E坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可求得所求的解析式．
（3）設(shè)出所求函數(shù)解析式，讓它與二次函數(shù)組成方程組，消除y，讓跟的判別式為0，即可求得一次函數(shù)的比例系數(shù)k．

解答：解：（1）根據(jù)題意可得：A（-1，0），B（3，0）；
則設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0），
又∵點(diǎn)D（0，-3）在拋物線上，
∴a（0+1）（0-3）=-3，解之得：a=1
∴y=x²-2x-3（3分）
自變量范圍：-1≤x≤3（4分）

（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C“蛋圓”的切線CE交x軸于點(diǎn)E，連接CM，
在Rt△MOC中，
∵OM=1，CM=2，
∴∠CMO=60°，OC=

3

在Rt△MCE中，
∵M(jìn)C=2，∠CMO=60°，
∴ME=4
∴點(diǎn)C、E的坐標(biāo)分別為（0，

3

），（-3，0）（6分）
∴切線CE的解析式為y=

3

3

x+

3

（8分）

（3）設(shè)過點(diǎn)D（0，-3），“蛋圓”切線的解析式為：y=kx-3（k≠0）（9分）
由題意可知方程組

y=kx-3 y=x2-2x-3

只有一組解
即kx-3=x²-2x-3有兩個(gè)相等實(shí)根，
∴k=-2（11分）
∴過點(diǎn)D“蛋圓”切線的解析式y(tǒng)=-2x-3．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以半圓與拋物線合成的封閉圖形“蛋圓”為背景，考查一次函數(shù)、二次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)，解題過程中涉及解一元一次方程、一元二次方程、方程組相關(guān)知識(shí)與技能，是一道綜合性很強(qiáng)的試題．