【題目】如圖,在RtABC中,∠C=90°,點DAB上一點,以AD為直徑作⊙OACE,與BC相切于點F,連接AF

1)求證:∠BAF=CAF;

2)若AC=6,BC=8,求BDCE的長;

3)在(2)的條件下,若AFDE交于H,求FHFA的值.(直接寫出結(jié)果即可)

【答案】(1)詳見解析;(2);(3)

【解析】

1)連結(jié)OF,如圖,根據(jù)切線的性質(zhì)得OFBC,則易得OFAC,所以∠OFA=CAF,加上∠OAF=OFA,則∠BAF=CAF;
2)設(shè)⊙O的半徑為rOFDE交于點P,如圖,在RtABC中根據(jù)勾股定理計算出AB=10,再證明△BOF∽△BAC,利用相似比計算出r=,則BD=BA-AD=;接著根據(jù)圓周角定理由AD為⊙O的直徑得到∠AED=90°,易得DEBC,根據(jù)平行線分線段成比例定理可計算出CE=;
3)根據(jù)平行線分線段成比例定理,由OFAC,,則可計算出CF=3,再在RtACF中,利用勾股定理計算出AF=3,然后利用HECF得到,可計算出FH=,最后計算FHFA的值.

解答:(1)證明:連結(jié)OF,如圖,
∵⊙OBC相切于點F,
OFBC,
∵∠ACB=90°,
OFAC,
∴∠OFA=CAF,
OA=OF,
∴∠OAF=OFA,
∴∠BAF=CAF;


2)解:設(shè)⊙O的半徑為r,OFDE交于點P,如圖,
RtABC中,∵AC=6,BC=8,
AB==10,
OFAC,
∴△BOF∽△BAC,
=,即

=,解得r=,
BD=BA-AD=10-2×=,
AD為⊙O的直徑,
∴∠AED=90°,
而∠C=90°,
DEBC,
=,即

=,
CE=;
3)解:∵OFAC,
=,即=,解得CF=3
RtACF中,AF==3,
HECF,
=,即=,
FH=,
FHFA=3=

練習(xí)冊系列答案
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