Question

17．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線與x軸另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)，并觀察圖象直接寫出當(dāng)x為何值時y＞0？
（3）當(dāng)-2≤x≤2時，求y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2求出b=-$\frac{3}{2}$，從而得到拋物線解析式，然后把一般式通過配方化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）通過解方程x²-$\frac{3}{2}$x-2=0可得到B點(diǎn)坐標(biāo)，然后觀察函數(shù)圖象，寫出拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可；
（3）先分別計算出當(dāng)x=-2和x=2所對應(yīng)的函數(shù)值，由于x=$\frac{3}{2}$時，y的最小值為-$\frac{25}{8}$，于是得到y(tǒng)的取值范圍為-$\frac{25}{8}$≤y≤3．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2得$\frac{1}{2}$-b-2=0，解得b=-$\frac{3}{2}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
因?yàn)閥=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；
（2）當(dāng)y=0時，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，
整理得x²-3x-4=0，解得x₁=-1，x₂=4，
所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
當(dāng)x＜-1或x＞4時，y＞0；
（3）當(dāng)x=-2時，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=3；當(dāng)x=2時，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=-3，
所以當(dāng)-2≤x≤2時，y的取值范圍為-$\frac{25}{8}$≤y≤3．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)與不等式．解決（3）小題的關(guān)鍵是x=$\frac{3}{2}$時，y的最小值為-$\frac{25}{8}$．