精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
如圖,已知拋物線C1y=
12
x2
,把它平移后得拋物線C2,使C2經過點A(0,8),且與拋物線C1交于點B(2,n).在x軸上有一點P,從原點O出發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸正半軸的方向移動,設點P移動的時間為t秒,過點P作x軸的垂線l,分別交拋物線C1、C2于E、D,當直線l經過點B前停止運動,以DE為邊在直線l左側畫正方形DEFG.
(1)判斷拋物線C2的頂點是否在x軸上,并說明理由;
(2)當t為何值時,正方形DEFG在y軸右側的部分的面積S有最大值?最大值為多少?
(3)設M為正方形DEFG的對稱中心.當t為何值時,△MOP為等腰三角形?
分析:(1)把點B的坐標代入拋物線C1,進行計算求出n的值,從而得到點B的坐標,然后根據平移變換不改變二次函數圖象的形狀,設拋物線C2的解析式為y=
1
2
x2+bx+c,然后利用待定系數法求解,再根據拋物線的頂點坐標進行判斷;
(2)根據兩拋物線的解析式表示出點D、E的坐標,然后求出DE的長度,然后根據矩形的面積公式列式整理,再根據二次函數的最值問題求解即可;
(3)根據正方形的性質結合拋物線的對稱性可以判斷,當正方形的中心在y軸右側時,△MOP為等腰三角形,然后根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等,可得點M到直線l的距離等于正方形邊長的一半,然后列式求解即可.
解答:解:(1)拋物線C2的頂點在x軸上.理由如下:
∵點B(2,n)在拋物線C1上,
1
2
×22=n,
解得n=2,
∴點B的坐標為(2,2),
∵拋物線C2是拋物線C1平移得到,
∴設拋物線C2的解析式為y=
1
2
x2+bx+c,
又∵C2經過點A(0,8),
c=8
1
2
×4+2b+c=2
,
解得
b=-4
c=8
,
∴拋物線C2的解析式為y=
1
2
x2-4x+8=
1
2
(x-4)2,
∴拋物線C2的頂點在x軸上;

(2)時間為t時,點D、E的坐標分別為D(t,
1
2
t2-4t+8),E(t,
1
2
t2),
∴DE=
1
2
t2-4t+8-
1
2
t2=-4t+8,
∴S=OP•DE=t(-4t+8)=-4t2+8t=-4(t-1)2+4,
∵直線l經過點B前停止運動,
∴0<t<2,
∴當t=1時,正方形DEFG在y軸右側的部分S有最大值,最大值為4;

(3)如圖,可以判定當點M在y軸左側時,△MOP不能為等腰三角形,
∴當點M在y軸右側,且在OP的垂直平分線上時,△MOP為等腰三角形,
此時∵點M是正方形的中心,
1
2
DE=
1
2
OP,
1
2
(-4t+8)=
1
2
t,
解得t=
8
5
,
8
5
<2,
∴符合題意,
故當t=
8
5
時,△MOP為等腰三角形.
點評:本題是對二次函數的綜合考查,待定系數法求函數解析式,兩點間的距離公式,正方形的性質,等腰三角形的性質,以及二次函數的最值問題,綜合性較強,難度較大,需仔細分析并理解方可解決.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊),點B的橫坐標是1.
(1)求P點坐標及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點為M,當點P、M關于點B成中心對稱時,求C3的解析式;
(3)如圖(2),點Q是x軸正半軸上一點,將拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點為N,與x軸相交于E、F兩點(點E在點F的左邊),當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時,求點Q的坐標.
精英家教網

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x-2)2-5的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊),點A的橫坐標是-1.
(1)求P點坐標及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱,將拋物線C2向左平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點為M,當點P、M關于點A成中心對稱時,求C3的解析式y(tǒng)=a(x-h)2+k;
(3)如圖(2),點Q是x軸負半軸上一動點,將拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點為N,與x軸相交于E、F兩點(點E在點F的左邊),當以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形時,求頂點N的坐標.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線c1:y=-
14
x2+bx+c
與x軸交于點A、B(點A在B的左側),與y軸交于點C,拋物線c2與拋物線c1關于y軸對稱,點A、B的對稱點分別是E、D,連接CD、CB,設AD=m.
(1)拋物線c2可以看成拋物線c1向右平移
m
m
個單位得到.
(2)若m=2,求b的值.
(3)將△CDB沿直線BC折疊,點D的對應點為G,且四邊形CDBG是平行四邊形,
①△CDB為
等邊
等邊
三角形(按邊分);
②若點G恰好落在拋物線c2上,求m的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B精英家教網的左側),點B的橫坐標是1;
(1)求a的值;
(2)如圖,拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,拋物線C3的頂點為M,當點P、M關于點O成中心對稱時,求拋物線C3的解析式.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案