Question

如圖，已知拋物線C₁：y=a（x+2）²-5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．
（1）求P點坐標及a的值；
（2）如圖（1），拋物線C₂與拋物線C₁關于x軸對稱，將拋物線C₂向右平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C₃的解析式；
（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C₁繞點Q旋轉180°后得到拋物線C₄．拋物線C₄的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）由拋物線C₁：y=a（x+2）²-5得頂點P的為（-2，-5），把點B（1，0）代入拋物線解析式，解得，a=

5

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；
（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G，根據(jù)點P、M關于點B成中心對稱，證明△PBH≌△MBG，所以MG=PH=5，BG=BH=3，即頂點M的坐標為（4，5），根據(jù)拋物線C₂由C₁關于x軸對稱得到，拋物線C₃由C₂平移得到，所以拋物線C₃的表達式為y=-

5

9

（x-4）²+5；
（3）根據(jù)拋物線C₄由C₁繞點x軸上的點Q旋轉180°得點N的縱坐標為5，設點N坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K，可求得EF=AB=2BH=6，F(xiàn)G=3，點F坐標為（m+3，0），H坐標為（2，0），K坐標為（m，-5），根據(jù)勾股定理得：PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，PF²=PH²+HF²=m²+10m+50，NF²=5²+3²=34．
分三種情況討論，利用勾股定理列方程求解即可．①當2∠PNF=90°時，PN²+NF²=PF²，解得m=

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，即Q點坐標為（

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，0）；②當∠PFN=90°時，PF²+NF²=PN²，解得m=

10

3

，∴Q點坐標為（

2

3

，0），③PN＞NK=10＞NF，所以∠NPF≠90°綜上所得，當Q點坐標為（

19

3

，0）或（

2

3

，0）時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形．

解答：解：（1）由拋物線C₁：y=a（x+2）²-5得，
頂點P的坐標為（-2，-5），
∵點B（1，0）在拋物線C₁上，
∴0=a（1+2）²-5，
解得a=

5

9

；

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G，
∵點P、M關于點B成中心對稱，
∴PM過點B，且PB=MB，
∴△PBH≌△MBG，
∴MG=PH=5，BG=BH=3，
∴頂點M的坐標為（4，5），
拋物線C₂由C₁關于x軸對稱得到，拋物線C₃由C₂平移得到，
∴拋物線C₃的表達式為y=-

5

9

（x-4）²+5；

（3）∵拋物線C₄由C₁繞點x軸上的點Q旋轉180°得到，
∴頂點N、P關于點Q成中心對稱，
由（2）得點N的縱坐標為5，
設點N坐標為（m，5），
作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，
作PK⊥NG于K，
∵旋轉中心Q在x軸上，
∴EF=AB=2BH=6，
∴FG=3，點F坐標為（m+3，0）．
H坐標為（-2，0），K坐標為（m，-5），
∵頂點P的坐標為（-2，-5），
根據(jù)勾股定理得：
PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，
PF²=PH²+HF²=m²+10m+50，
NF²=5²+3²=34，
①當∠PNF=90°時，PN²+NF²=PF²，解得m=

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，
∴Q點坐標為（

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，0）．
②當∠PFN=90°時，PF²+NF²=PN²，解得m=

10

3

，
∴Q點坐標為（

2

3

，0）．
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°
綜上所得，當Q點坐標為（

19

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，0）或（

2

3

，0）時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形．

點評：本題結合三角形的性質考查二次函數(shù)的綜合應用，函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，要利用直角三角形的性質和二次函數(shù)的性質把數(shù)與形有機的結合在一起，利用勾股定理作為相等關系求解．