Question

如圖，已知拋物線C₁：y=a（x+2）²-5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1；
（1）求a的值；
（2）如圖，拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C₂向右平移，平移后的拋物線記為C₃，拋物線C₃的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí)，求拋物線C₃的解析式．

Answer 1

分析：（1）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線C₁的解析式中，即可求得待定系數(shù)a的值．
（2）在拋物線平移過(guò)程中，拋物線的開(kāi)口大小沒(méi)有發(fā)現(xiàn)變化，變化的只是拋物線的位置和開(kāi)口方向，所以C₃的二次項(xiàng)系數(shù)與C₁的互為相反數(shù)，而C₃的頂點(diǎn)M與C₁的頂點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P點(diǎn)坐標(biāo)易求得，即可得到M點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出拋物線C3的解析式．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，橫坐標(biāo)是1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
∴當(dāng)x=1時(shí)，0=a（1+2）²-5，
∴a=

5

9

．

（2）設(shè)拋物線C₃解析式為y=a′（x-h）²+k，
∵拋物線C₂與C₁關(guān)于x軸對(duì)稱，且C₃為C₂向右平移得到，
∴a′=-

5

9

，
∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-5），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，5），
∴拋物線C₃的解析式為y=-

5

9

（x-2）²+5=-

5

9

x²+

20

9

x+

25

9

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的幾何變化以及系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，需要熟練掌握．