Question

如圖，A（0，

3

），B（-1，0），C為x軸上一點(diǎn)，四邊形ABCD為菱形．

（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)O′為AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿B→A→D方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿B→C方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連PQ，是否存在實(shí)數(shù)t，使PQ正好經(jīng)過(guò)O′？若存在，求出t值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)E為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EF⊥AB于F時(shí)，求

OF

AE

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）如圖1，要求點(diǎn)C的坐標(biāo)，只需求出OC的長(zhǎng)，OB已知，只需求出BC即AB長(zhǎng)，只需在Rt△AOB中運(yùn)用勾股定理就可解決問(wèn)題．
（2）若PQ正好經(jīng)過(guò)O′，如圖2，易證△AO′P≌△CO′Q，則有AP=CQ，從而建立關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程就可解決問(wèn)題．
（3如圖3，易證△AOB∽△EFB，則有

BO

BF

=

BA

BE

，從而可證到△FBO∽△EBA，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖1，

∵A（0，

3

），B（-1，0），
∴OA=

3

，OB=1．
∵∠AOB=90°，
∴AB=

OA2+OB2

=

3+1

=2．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=AB=2，∴OC=BC-OB=2-1=1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．

（2）若PQ正好經(jīng)過(guò)O′，如圖2．

∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，
∴∠PAO′=∠QCO′，∠APO′=∠CQO′．
在△AO′P和△CO′Q中，

∠PAO′=∠QCO′ AP=CQ ∠APO′=∠CQO′

，
∴△AO′P≌△CO′Q，
∴AP=CQ．
由題可得：AP=2t-2，QC=BC-BQ=2-t，
則有2t-2=2-t，
解得：t=

4

3

．
∴當(dāng)實(shí)數(shù)t=

4

3

時(shí)，PQ正好經(jīng)過(guò)O′．

（3）如圖3，

∵∠BFE=∠BOA=90°，∠ABO=∠EBF，
∴△AOB∽△EFB，
∴

BO

BF

=

BA

BE

．
∵∠FBO=∠EBA，
∴△FBO∽△EBA，
∴

OF

AE

=

OB

AB

=

1

2

．
∴

OF

AE

的值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)是解決第（3）小題的關(guān)鍵．