Question

如圖，直線BC與半徑為2的⊙O相切于點(diǎn)D，A是⊙O上一點(diǎn)，AB交⊙O于點(diǎn)E，AC交⊙O于點(diǎn)F，BC∥EF．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，連接OD．利用切線的性質(zhì)、垂徑定理以及圓周角、弧、弦間的關(guān)系證得結(jié)論；
（2）連接OE．由三角函數(shù)和垂徑定理可將EF的長(zhǎng)求出．

解答：（1）證明：如圖，連接OD交EF于點(diǎn)M．
∵直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥BC，
又BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EM=FM．
∴

ED

=

FD

，
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC；

（2）解：連接OE．由（1）知，AD平分∠BAC，OD⊥EF．
∵∠BAC=60°，
∴∠EAD=30°
∴∠EOD=2∠EAD=60°，
∴∠COE=60°．
在Rt△EOM中，EM=sin60°×OE=

3

2

×2=

3

，
∵EF=2EM，
∴EF=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．