Question

17．以△ABC的AB、AC為邊分別作正方形ADEB、ACGF，連接DC、BF．
（1）如圖1，求證：CD=BF且CD⊥BF．
（2）在圖2中，（1）中結(jié)論是否成立？請證明．

Answer 1

分析 （1）DC=BF且DC⊥BF，可以利用△ADC≌△ABF（SAS）來證明相等，∠ABM+∠BNM=∠NMB=90°來證明垂直．
（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等以及直角三角形的兩銳角互余，即可證得．

解答 證明：（1）∵∠DAB=∠CAF=90°，如圖1：

∴∠DAC=∠BAF（等量加等量和相等）
又∵AD=AB，AC=AF
在△ADC與△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAF}\\{AC=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABF（SAS）
∴∠ADN=∠ABM，DC=BF
又∵∠ADN+∠DNA=90°
∴∠ABM+∠BNM=90°
∴∠NMB=90°
即DC⊥BF；
（2）

成立，理由如下：
∵∠DAB=∠CAF=90°，
∴∠DAC=∠BAF（等量加等量和相等）
又∵AD=AB，AC=AF
在△ADC與△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAF}\\{AC=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABF（SAS）
∴∠FBA=∠CDA，DC=BF
又∵∠FBA+∠BDA=90°
∴∠CDA+∠BDA=90°
∴∠BDC=90°
即DC⊥BF；

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)及三角形全等的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)圖形中兩個三角形的位置關(guān)系解題．