【題目】如圖1,在正方形和正方形中,邊在邊上,正方形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)
(1)如圖2,當(dāng)時,求證:;
(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中,設(shè)的延長線交直線于點.①如果存在某一時刻使得,請求出此時的長;②若正方形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了,求旋轉(zhuǎn)過程中,點運動的路徑長.
【答案】(1)見詳解;(2) ;.
【解析】
(1)由正方形的性質(zhì)得出AD=AB,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°,由∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠DAG+∠EAD=∠EAG,推出∠BAE=∠DAG,由SAS即可證得△DAG≌△BAE;
(2)①由AB=2,AE=1,由勾股定理得AF=AE=,易證△ABF是等腰三角形,由AE=EF,則直線BE是AF的垂直平分線,設(shè)BE的延長線交AF于點O,交AD于點H,則OE=OA=,由勾股定理得OB=,由cos∠ABO=,cos∠ABH=,求得BH=,由勾股定理得AH==,則DH=ADAH=2,由∠DHP=∠BHA,∠BAH=∠DPH=90°,證得△BAH∽△DPH,得出,即可求得DP;
②由△DAG≌△BAE,得出∠ABE=∠ADG,由∠BPD=∠BAD=90°,則點P的運動軌跡為以BD為直徑的,由正方形的性質(zhì)得出BD=AB=2,由正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了60°,得出∠BAE=60°,由AB=2AE,得出∠BEA=90°,∠ABE=30°,B、E、F三點共線,同理D、F、G三點共線,則P與F重合,得出∠ABP=30°,則所對的圓心角為60°,由弧長公式即可得出結(jié)果.
解答:(1)證明:在正方形ABCD和正方形AEFG中,AD=AB,AGspan>=AE,∠BAD=∠EAG=90°,
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠DAG+∠EAD=∠EAG,
∴∠BAE=∠DAG,
在△DAG和△BAE中,
,
∴△DAG≌△BAE(SAS);
∴BE=DG;
(2)解:①∵AB=2AE=2,
∴AE=1,
由勾股定理得,AF=AE=,
∵BF=BC=2,
∴AB=BF=2,
∴△ABF是等腰三角形,
∵AE=EF,
∴直線BE是AF的垂直平分線
,設(shè)BE的延長線交AF于點O,交AD于點H,如圖3所示:
則OE=OA=,
∴OB=,
∵cos∠ABO=,cos∠ABH=,
∴BH=,
AH==,
∴DH=ADAH=2,
∵∠DHP=∠BHA,∠BAH=∠DPH=90°,
∴△BAH∽△DPH,
∴,
即
∴DP=;
②
∵△DAG≌△BAE,
∴∠ABE=∠ADG,
∵∠BPD=∠BAD=90°,
∴點P的運動軌跡為以BD為直徑的,
BD=AB=2,
∵正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了60°,
∴∠BAE=60°,
∵AB=2AE,
∴∠BEA=90°,∠ABE=30°,
∴B、E、F三點共線,
同理D、F、G三點共線,
∴P與F重合,
∴∠ABP=30°,
∴所對的圓心角為60°,
∴旋轉(zhuǎn)過程中點P運動的路線長為:.
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑均為1個單位長度的半圓、、,組成一條平滑的曲線,點從原點出發(fā),沿這條曲線向右運動,速度為每秒個單位長度,則第2019秒時,點的坐標(biāo)是____.
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【題目】如圖,在斜坡的頂部有一鐵塔AB,B是CD的中點,CD是水平的,在陽光的照射下,塔影DE留在坡面上.已知鐵塔底座寬CD=12 m,塔影長DE=18 m,小明和小華的身高都是1.6m,同一時刻,小明站在點E處,影子在坡面上,小華站在平地上,影子也在平地上,兩人的影長分別為2m和1m,那么塔高AB為( 。
A. 24m B. 22m C. 20m D. 18m
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【題目】如圖,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=12cm,點 D 為△ABC 內(nèi)一點,∠BAD=15°,AD= 4 cm,連接 BD,將△ABD 繞點 A 按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使 AB 與 AC 重合,點 D 的對應(yīng)點點 E,連接 DE,DE 交 AC 于點 F,則 CF 的長為__________cm.
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【題目】被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”的《九章算術(shù)》是中國古代算法的扛鼎之作.《九章算術(shù)》中記載:“今有五雀、六燕,集稱之衡,雀俱重,燕俱輕.一雀一燕交而處,衡適平.并燕、雀重一斤.問燕、雀一枚各重幾何?”
譯文:“今有5只雀、6只燕,分別聚集而且用衡器稱之,聚在一起的雀重,燕輕.將一只雀、一只燕交換位置而放,重量相等.5只雀、6只燕重量為1斤.問雀、燕毎只各重多少斤?”
設(shè)每只雀重x斤,每只燕重y斤,可列方程組為_______.
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【題目】在下列網(wǎng)格圖中,每個小正方形的邊長均為個單位長度.已知在網(wǎng)格圖中的位置如圖所示.
(1)請在網(wǎng)格圖中畫出向右平移單位后的圖形,并直接寫出平移過程中線段掃過的面積;
(2)請在網(wǎng)格圖中畫出以為對稱中心的圖形.(保留作圖痕跡)
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【題目】某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次測試成績中隨機抽取次,數(shù)據(jù)如下(單位:分).
甲 | ||||||||
乙 |
(1)請你計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù).
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽,從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪名工人參加合適?請說明理由.
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【題目】某學(xué)校為了慶祝校園藝術(shù)節(jié),準(zhǔn)備購買一批盆花布置校園.已知1盆A種花和2盆B種花一共需13元,2盆A種花和1盆B種花一共需11元.
(1)求1盆A種花和1盒B種花的售價各是多少元?
(2)學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種盆花共100盆,并且A種盆花的數(shù)量不超過B種盆花數(shù)量的2倍,請求出A種盆花的數(shù)量最多是多少?
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