【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A,B與y軸交于C,過C作x軸的平行線交拋物線于點D,過點D作x軸的垂線交x軸于E,點D的坐標為(2,3)

(1)求拋物線的解析式;
(2)點P為第一象限直線DE右側拋物線上一點,連接AP交y軸于點F,連接PD、DF,設點P的橫坐標為t,△PFD的面積為S,求S與t的函數(shù)關系式;
(3)在(2)的條件下,點P向下平移3個單位得到點Q,連接AQ、EQ,若∠AQE=45°,求點P的橫坐標.

【答案】
(1)解:由題意D(2,3),C(0,3),

∵CD∥x軸,

∴C、D關于對稱軸對稱,

∴對稱軸x=1,

∴﹣ =1,

∴b=2,c=3,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.


(2)解:如圖1中,連接PC,作PH⊥AB于H.設P(t,﹣t2+2t+3).

對于拋物線y=﹣x2+2x+3,令y=0,﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或3,

∴A(﹣1,0),B(3,0)

∵OF∥PB,

= ,

∴FO=(﹣t2+2t+3) =3﹣t,

∴CF=3﹣(3﹣t)=t,

S=SPCF+SPCD﹣SCDF= tt+ ×2×[3﹣(﹣t2+2t+3)]﹣ t2= t2﹣3t(2<t<3).


(3)解:如圖構造等腰直角三角形△AKE,使得AK=EK,∠AKE=90°,則易知K( ,﹣ ),以K為圓心,AK為半徑畫⊙K.

∵∠AQE=45°= ∠AKE,

∴點Q在⊙K上,設P(m,﹣m2+2m+3),則Q(m,﹣m2+2m),

∵AK=QK,

∴(1+ 2+( 2=(m﹣ 2+(﹣m2+2m+ 2,

+ =m2﹣m+ +(﹣m2+2m)2+3(﹣m2+2m)+

∴m2﹣m﹣2+m2(m﹣2)2﹣3m(m﹣2)=0,

∴(m﹣2)(m+1)+m2(m﹣2)2﹣3m(m﹣2)=0,

∴(m﹣2)[(m+1)+m3﹣2m2﹣3m]=0,

∴(m﹣2)[(m+1)+m(m+1)(m﹣3)]=0,

∴(m﹣2)(m+1)(m2﹣3m+1)=0,

∴m=2或﹣1或 ,

∵點P為第一象限直線DE右側拋物線上一點,

∴m=

∴滿足條件的點P的橫坐標為


【解析】(1)根據題意易求得點C的坐標,再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;蚋鶕cC、D是兩對稱點,求出對稱軸,即可求出拋物線的解析式。
(2)觀察函數(shù)圖像,可知S△PFD=SPCF+SPCD﹣SCDF,因此連接PC,作PH⊥AB于H.設P(t,﹣t2+2t+3),再用含t的代數(shù)式分別求出△PCF、△PCD、△CDF的面積,就可以求出S與t的函數(shù)關系式。
(3)抓住已知∠AQE=45°,添加輔助線,構造圓周角為45°的圓心角,構造等腰直角三角形△AKE,使得AK=EK,∠AKE=90°,以K為圓心,AK為半徑畫⊙K,易得到K點坐標,得出點Q在圓上,設出點P、點Q的坐標,根據AK=QK。列出方程,求解即可求出點P的橫坐標。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對矩形的性質的理解,了解矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等.

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