Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+bx+4 與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)D為CB的中點(diǎn)，將線段DB繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對稱軸上時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若點(diǎn)D為直線BC或直線AC上的一點(diǎn)，E為x軸上一動點(diǎn)，拋物線

y=ax2+bx+4對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使以B，D，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+4 與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和B（2，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2﹣ x+4

（2）解：由（1）可知拋物線的對稱軸為x=﹣ ．

∴可設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣ ，y），

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），

在Rt△OBC中，BC= =2 ．

∴DB= BC= ，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，DG=DB，

∴（﹣ ﹣1）2+（y﹣2）2=5，解得：y=2+ 或y=2﹣ ，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣ ，2+ ）或（﹣ ，2﹣ ）

（3）解：①當(dāng)BE為對角線時(shí)，因?yàn)榱庑蔚膶�角線互相垂直平分，所以此時(shí)D即為對稱軸與AC的交點(diǎn)，F(xiàn)為點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，

設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，

∵C（0，4），A（﹣3，0）

∴ ，解得 ，

∴直線AC解析式為y= x+4，

∴當(dāng) 時(shí)， ，

∴D ，

∴F ；

②當(dāng)BE為菱形的邊時(shí)，有DF∥BE

I）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí)，可求得直線BC解析式為y=﹣2x+4，

設(shè)D（a，﹣2a+4），則點(diǎn)F ，

∵四邊形BDFE是菱形，

∴FD=DB，

∴ ，解得 ， ，

∴F 或 ；

II）當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上時(shí)，

設(shè)D ，則點(diǎn)F ，

∵四邊形BFDE是菱形，

∴FD=FB，

∴（a+ ）2=（2+ ）2+（ a+4）2，解得：a1=﹣3（舍去）， ，

∴F ，

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為 或 或 或

【解析】（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式；（2）可設(shè)出G點(diǎn)坐標(biāo)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得DG=DB，從而可列出方程，可求得G點(diǎn)坐標(biāo)；（3）分BE為對角線和BE為邊兩種情況，①當(dāng)BE為對角線時(shí)，則可知BE⊥DF，可知D為對稱軸與直線AC的交點(diǎn)，F(xiàn)為D點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，可先求得直線AC的解析式，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，則容易求得F點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)BE為邊時(shí)，可利用直線BC或直線AC的解析式設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用菱形的性質(zhì)可列出方程，從而可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)．