Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形紙片DOE的頂點(diǎn)O與邊AB的中點(diǎn)重合，OD交BC于點(diǎn)F，OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且∠DOE=∠B．
（1）證明△COF是等腰三角形，并求出CF的長(zhǎng)；
（2）將扇形紙片DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OD，OE與邊AC分別交于點(diǎn)M，N（如圖2），當(dāng)CM的長(zhǎng)是多少時(shí)，△OMN與△BCO相似？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,分類(lèi)討論

分析：（1）易證∠OCB=∠B，由條件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE，從而得到△COF是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OC，垂足為H，如圖1，由等腰三角形的三線合一可求出CH，易證△CHF∽△BCA，從而可求出CF長(zhǎng)．
（2）題中要求“△OMN與△BCO相似”，并沒(méi)有指明對(duì)應(yīng)關(guān)系，故需分情況討論，由于∠DOE=∠B，因此△OMN中的點(diǎn)O與△BCO中的點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，因而只需分兩種情況討論：①△OMN∽△BCO，②△OMN∽△BOC．當(dāng)△OMN∽△BCO時(shí)，可證到△AOM∽△ACB，從而求出AM長(zhǎng)，進(jìn)而求出CM長(zhǎng)；當(dāng)△OMN∽△BOC時(shí)，可證到△CON∽△ACB，從而求出ON，CN長(zhǎng)．然后過(guò)點(diǎn)M作MG⊥ON，垂足為G，如圖3，可以求出NG．并可以證到△MGN∽△ACB，從而求出MN長(zhǎng)，進(jìn)而求出CM長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴OC=0B=OA=5．
∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．
∵∠DOE=∠B，
∴∠FOC=∠OCF．
∴FC=FO．
∴△COF是等腰三角形．
過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OC，垂足為H，如圖1，
∵FC=FO，F(xiàn)H⊥OC，
∴CH=OH=

5

2

，∠CHF=90°．
∵∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA=90°，
∴△CHF∽△BCA．
∴

CH

BC

=

CF

BA

．
∵CH=

5

2

，AB=10，BC=6，
∴CF=

25

6

．
∴CF的長(zhǎng)為

25

6

．

（2）①若△OMN∽△BCO，如圖2，
則有∠NMO=∠OCB．
∵∠OCB=∠B，
∴∠NMO=∠B．
∵∠A=∠A，
∴△AOM∽△ACB．
∴

AO

AC

=

AM

AB

．
∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8．
∵AO=5，AC=8，AB=10，
∴AM=

25

4

．
∴CM=AC-AM=

7

4

．
②若△OMN∽△BOC，如圖3，
則有∠MNO=∠OCB．
∵∠OCB=∠B，
∴∠MNO=∠B．
∵∠ACO=∠A，
∴△CON∽△ACB．
∴

ON

BC

=

CN

AB

=

CO

AC

．
∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，
∴ON=

15

4

，CN=

25

4

．
過(guò)點(diǎn)M作MG⊥ON，垂足為G，如圖3，
∵∠MNO=∠B，∠MON=∠B，
∴∠MNO=∠MON．
∴MN=MO．
∵M(jìn)G⊥ON，即∠MGN=90°，
∴NG=OG=

15

8

．
∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB=90°，
∴△MGN∽△ACB．
∴

GN

BC

=

MN

AB

．
∵GN=

15

8

，BC=6，AB=10，
∴MN=

25

8

．
∴CM=CN-MN=

25

4

-

25

8

=

25

8

．
∴當(dāng)CM的長(zhǎng)是

7

4

或

25

8

時(shí)，△OMN與△BCO相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，考查了分類(lèi)討論的思想，而將等腰三角形的三線合一與三角形相似相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．