Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標(biāo)；
（2）直線CD交x軸于點E，過拋物線上在對稱軸的右邊的點P，作y軸的平行線交x軸于點F，交直線CD于M，使PM=

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EF，請求出點P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線沿對稱軸平移，要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，那么拋物線向上最多平移多少個單位長度，向下最多平移多少個單位長度．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-因式分解法,根的判別式,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：綜合題

分析：（1）由于拋物線與x軸的兩個交點已知，拋物線的解析式可設(shè)成交點式：y=a（x+2）（x-4），然后將點C的坐標(biāo)代入就可求出拋物線的解析式，再將該解析式配成頂點式，即可得到頂點坐標(biāo)．
（2）先求出直線CD的解析式，再求出點E的坐標(biāo)，然后設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），從而可以用m的代數(shù)式表示出PM、EF，然后根據(jù)PM=

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EF建立方程，就可求出m，進而求出點P的坐標(biāo)．
（3）先求出點M的坐標(biāo)，然后設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=x²-2x-8+c，然后只需考慮三個臨界位置（①向上平移到與直線EM相切的位置，②向下平移到經(jīng)過點M的位置，③向下平移到經(jīng)過點E的位置）所對應(yīng)的c的值，就可以解決問題．

解答：解：（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4）．
∵點C（0，-8）在拋物線y=a（x+2）（x-4）上，
∴-8a=-8．
∴a=1．
∴y=（x+2）（x-4）
=x²-2x-8
=（x-1）²-9．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-8，頂點D的坐標(biāo)為（1，-9）．

（2）如圖，
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．
∴

0+b=-8 k+b=-9

解得：

k=-1 b=-8

．
∴直線CD的解析式為y=-x-8．
當(dāng)y=0時，-x-8=0，
則有x=-8．
∴點E的坐標(biāo)為（-8，0）．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），
則PM=（m²-2m-8）-（-m-8）=m²-m，EF=m-（-8）=m+8．
∵PM=

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EF，
∴m²-m=

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（m+8）．
整理得：5m²-6m-8=0．
∴（5m+4）（m-2）=0
解得：m₁=-

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，m₂=2．
∵點P在對稱軸x=1的右邊，
∴m=2．
此時，n=2²-2×2-8=-8．
∴點P的坐標(biāo)為（2，-8）．

（3）當(dāng)m=2時，y=-2-8=-10．
∴點M的坐標(biāo)為（2，-10）．
設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=x²-2x-8+c，
①若拋物線y=x²-2x-8+c與直線y=-x-8相切，
則方程x²-2x-8+c=-x-8即x²-x+c=0有兩個相等的實數(shù)根．
∴（-1）²-4×1×c=0．
∴c=

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．
②若拋物線y=x²-2x-8+c經(jīng)過點M，
則有2²-2×2-8+c=-10．
∴c=-2．
③若拋物線y=x²-2x-8+c經(jīng)過點E，
則有（-8）²-2×（-8）-8+c=0．
∴c=-72．
綜上所述：要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，拋物線向上最多平移

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個單位長度，向下最多平移72個單位長度．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、解一元二次方程、根的判別式、拋物線與直線的交點問題等知識，而把拋物線與直線相切的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根的問題是解決第三小題的關(guān)鍵，有一定的綜合性．