Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點A（-6，0），B（2，0），C（0，-6）
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為拋物線對稱軸上的一點，設△BCP的周長為C，求C的最小值并求出此時點P的坐標；
（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）已知拋物線上的三點坐標，利用待定系數法可求出該二次函數的解析式；
（2）根據題意，要使△BCP的周長最小，找到點B關于DE的對稱點即點C，連接AC與DE的交點即為點P，據此求解即可；
（3）分三種情況進行討論：①以A為直角頂點；②以D為直角頂點；③以M為直角頂點；設點M的坐標為（0，t），根據勾股定理列出方程，求出t的值即可．

解答：解：（1）由于拋物線y=ax²+bx+c經過A（-6，0），B（2，0），C（0，-6），
則有：

36a-6b+c=0 4a+2b+c=0 c=-6

，
解得：

a= 1 2 b=2 c=-6

，
所以拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+2x-6；

（2）作出點B關于DE的對稱點即點C，連接AC，交DE的交點于點P，

設直線AC的解析式為y=kx+b，
將點A、C的坐標代入得：

-6k+b=0 b=-6

，
解得：

k=-1 b=-6

，
則解析式為：y=-x-6，
∵拋物線的對稱軸為x=-2，
∴把x=-2代入y=-x-6得：
y=-4，
則點P坐標為（-2，-4），
△BCP的周長=AC+BC=

62+62

+

22+62

=6

2

+2

10

，
即點P的坐標為（-2，-4）時，C有最小值，為6

2

+2

10

；

（3）在y軸上是存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y=

1

2

x²+2x-6=y=

1

2

（x+2）²-8，
∴頂點D的坐標為（-2，-8），
∵A（-6，0），
∴AD²=（-2+6）²+（-8-0）²=80．
設點M的坐標為（0，t），分三種情況進行討論：
①當A為直角頂點時，如圖3①，

由勾股定理，得AM²+AD²=DM²，即（0+6）²+（t-0）²+80=（0+2）²+（t+8）²，
解得t=3，
所以點M的坐標為（0，3）；
②當D為直角頂點時，如圖3②，

由勾股定理，得DM²+AD²=AM²，即（0+2）²+（t+8）²+80=（0+6）²+（t-0）²，
解得t=-7，
所以點M的坐標為（0，-7）；
③當M為直角頂點時，如圖3③，

由勾股定理，得AM²+DM²=AD²，即（0+6）²+（t-0）²+（0+2）²+（t+8）²=80，
解得t=-2或-6，
所以點M的坐標為（0，-2）或（0，-6）；
綜上可知，在y軸上存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形，
此時點M的坐標為（0，3）或（0，-7）或（0，-2）或（0，-6）．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，三角形的周長，二次函數的頂點式的運用，勾股定理等知識，難度適中．運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．