【題目】[閱讀理解]

構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法,我們常用這種方法證明線段的中點(diǎn)問(wèn)題.

例如:如圖,D是△ABCAB上一點(diǎn),EAC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)CCFAB,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則易證E是線段DF的中點(diǎn).

[經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用]

請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問(wèn)題.

1)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)EAB上,點(diǎn)FBC的延長(zhǎng)線上,且滿足AECF,連接EFAC于點(diǎn)G

求證:GEF的中點(diǎn);

CGBE;

[拓展延伸]

2)如圖2,在矩形ABCD中,AB2BC,點(diǎn)EAB上,點(diǎn)FBC的延長(zhǎng)線上,且滿足AE2CF,連接EFAC于點(diǎn)G.探究BECG之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

3)如圖3,若點(diǎn)EBA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)F在線段BC上,DFAC于點(diǎn)H,BF2,CF1,( 2)中的其它條件不變,請(qǐng)直接寫(xiě)出GH的長(zhǎng).

【答案】1)①詳見(jiàn)解析;②詳見(jiàn)解析;(2BECG,理由詳見(jiàn)解析;(3

【解析】

1)①過(guò)點(diǎn)EEIBCAC于點(diǎn)I,證明EIG≌△FCGASA),得出EGFG即可;

②由等腰直角三角形的性質(zhì)得出 AIAE,由平行線得出,證出ICBE,由全等三角形的性質(zhì)得出IGCGIC,即可得出結(jié)論;

2)作EIBC AC于點(diǎn)I,由三角函數(shù)證出AE2IE,得出IECF,證EIG≌△FCGASA),得出EGFG,IGCG,設(shè)IEa,則AE2a,求出,則,得出ICEB,即可得出結(jié)果;

3)作FPABACP,則FPCD,∠CFP=∠ABC90°,∠CPF=∠CAB,則tanCPFtanCAB,求出AEPF2,BC3CDAB2BC6,AC3,證明CPF∽△CAB,得出,求出PCAC,PA2,AGPG,再證明PFH∽△CDH,得出,得出PHPC,即可得出結(jié)果.

1)證明:過(guò)點(diǎn)EEIBCAC于點(diǎn)I,如圖1所示:

∵四邊形ABCD是正方形,

ABBC,∠AEI=∠ABC90°,

∴∠BAC45°,

∴∠AIE=∠BAC45°,

AEEI,

AECF

CFEI,

EIBC,

∴∠EIG=∠FCG,∠IEG=∠CFG,

在△EIG和△FCG中,

,

∴△EIG≌△FCGASA),

EGFG

GEF的中點(diǎn);

RtAEI中,∠AEI90°,AEEI,

∴△AEI是等腰直角三角形,

AIAE,

,

EIBC

,

ICBE,

∵△EIG≌△FCG,

IGCGIC,

CG×BEBE

2)解:BECG之間的數(shù)量關(guān)系為:BECG;理由如下:

過(guò)點(diǎn)EEIBC AC于點(diǎn)I,如圖2所示:

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠AEI=∠ABC90°,ABCD,ABCD,

RtAEIRtABC中,∠ABC=∠AEI90°,AB2BC

tanIAE,

AE2IE,

AE2CF

IECF,

EIBC,

∴∠EIG=∠FCG,∠IEG=∠CFG,

在△EIG和△FCG中,,

∴△EIG≌△FCGASA),

EGFG,IGCG,

設(shè)IEa,則AE2a,

RtAEI中,∠AEI90°,

AIacosIAE,

,

EIBC,

ICEB,

IGCGIC,

CGBE,

BECG

3)解:作FPABACP,如圖3所示:

FPCD,∠CFP=∠ABC90°,∠CPF=∠CAB,

RtCFPRtABC中,AB2BC

tanCPFtanCAB,

PF2CF,

AE2CF

AEPF2,

同(2)得:△AEG≌△PFGAAS),

AGPG,

BF2CF1,

BC3,CDAB2BC6,

AC3,

FPAB

∴△CPF∽△CAB,

,

PCAC,PAACPC2,

AGPGPA,

FPCD,

∴△PFH∽△CDH,

,

PHPC,

GHPG+PH

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2)張明和李剛兩位老師從中隨機(jī)各選取一種網(wǎng)絡(luò)直播方式進(jìn)行授課,請(qǐng)你用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法,求出張明和李剛兩位老師選取不同的網(wǎng)絡(luò)直播授課方式的概率.

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