Question

【題目】 如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么我們稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”，如8=32-12，16=52-32，24=72-52，因此，8，16，24這三個數(shù)都是“和諧數(shù)”．

（1）在32，75，80這三個數(shù)中，是和諧數(shù)的是______；

（2）若200為和諧數(shù)，即200可以寫成兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，則這兩個連續(xù)奇數(shù)的和為______；

（3）小鑫通過觀察發(fā)現(xiàn)以上求出的“和諧數(shù)”均為8的倍數(shù)，設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2n-1和2n+1（其中n取正整數(shù)），請你通過運算驗證“和諧數(shù)是8的倍數(shù)”這個結(jié)論是否正確．

Answer 1

【答案】（1）32，80；（2）100；（3）“和諧數(shù)是8的倍數(shù)”這個結(jié)論是正確的，證明詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義，設(shè)出一般的情況，看和諧數(shù)應(yīng)滿足什么條件，以此條件判斷32，75，80這三個數(shù)中，哪些數(shù)是和諧數(shù)；

（2）用字母表示兩個連續(xù)奇數(shù)與和諧數(shù)，由和諧數(shù)是200，列出方程，解出即得到這兩個連續(xù)的奇數(shù)，從而可以求得這兩個連續(xù)奇數(shù)的和；

（3）用字母表示兩個連續(xù)奇數(shù)與和諧數(shù)，通過化簡，可以證明結(jié)論成立．

解：（1）由“和諧數(shù)”的定義，設(shè)這兩個連續(xù)的奇數(shù)分別為，，

則和諧數(shù)可表示為：，（其中表示正整數(shù)）

∴“和諧數(shù)”就是8的正整數(shù)倍，

∴32，80是和諧數(shù)，75不是和諧數(shù)，且32=92-72，80=212-192，

故答案為：32；80.

（2）∵200，即200，

∴，

∴，，

∵49+51=100，

∴這兩個連續(xù)奇數(shù)的和為100，

故答案為：100.

（3）證明：∵,

∴“和諧數(shù)是8的倍數(shù)”這個結(jié)論是正確的．