Question

3．如圖，點(diǎn)B（2，n）是直線y=k₁x（k₁≠0）上的點(diǎn)，如果直線y=k₁x（k₁≠0）平分∠yOx，BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C．
（1）求k₁的值；
（2）如果反比例函數(shù)y=$\frac{k_2}{x}$（k₂≠0）的圖象與BC、BA分別交于點(diǎn)D、E，求證：OD=OE；
（3）在（2）的條件下，如果四邊形BDOE的面積是△ABO面積的$\frac{4}{3}$，求反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，可得B的橫、縱坐標(biāo)相等，則利用待定系數(shù)法即可求得k₁的值；
（2）利用k₂表示出D和E的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求得OD和OE的長，從而判斷；
（3）S_△BOE=$\frac{1}{2}$S_{四邊形BDOE}，則S_△BOE=$\frac{2}{3}$S_△AOB，據(jù)此即可求得AE的長，則k₂即可求得．

解答 解：（1）∵直線y=k₁x（k₁≠0）平分∠yOx，BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C，
∴AB=BC；又B（2，n），
∴AB=BC=2；
∴B（2，2），
∴2=2k₁，
∴k₁=1．
（2）∵反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k₂≠0）的圖象與BC、BA分別交于點(diǎn)D、E，
∴D（$\frac{{k}_{2}}{2}$，2），E（2，$\frac{{k}_{2}}{2}$）；
∴OD=$\sqrt{（\frac{{k}_{2}}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{k}_{2}^{2}}{4}+4}$，OE=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{{k}_{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{{k}_{2}^{2}}{4}}$；
∴OD=OE．
（3）由題意，可得△BOD≌△BOE，
∴S_△BOE=$\frac{1}{2}$S_{四邊形BDOE}；
又S_{四邊形BDOE}=$\frac{4}{3}$S_△AOB，
∴S_△BOE=$\frac{2}{3}$S_△AOB，
即$\frac{1}{2}$BE•OA=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$AB•OA，
∴BE=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{4}{3}$；
∴AE=$\frac{2}{3}$，
∴E（2，$\frac{2}{3}$），
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{{k}_{2}}{2}$，
解得k₂=$\frac{4}{3}$，
∴y=$\frac{4}{3x}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與正方形的性質(zhì)的運(yùn)算，正確求得AE的長是本題的關(guān)鍵．