【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx-3交x軸于點A(﹣3,0),點B(1,0),交y軸于點E.點C是點A關(guān)于點B的對稱點,點F是線段BC的中點,直線過點F且與y軸平行.直線y=kx+3過點C,交y軸于D點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)點K為線段AB上一動點,過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H,與拋物線交于點G,求線段HG長度的最大值;

(3)在直線上取點M,在拋物線上取點N,使以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,求點N的坐標(biāo).

【答案】1y=x2+2x3; 2線段HG的長度有最大值; (3)當(dāng)N的坐標(biāo)為(﹣5,12),(11,140),(﹣1,﹣4)時,以點A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形.

【解析】試題分析:1)把點的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式,即可求出的值;
2)根據(jù)C點的坐標(biāo)求出直線CD的解析式,然后結(jié)合圖形設(shè)出K點的坐標(biāo)表達(dá)出H點和G點的坐標(biāo),列出HG關(guān)于t的表達(dá)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值;
3)需要討論解決,①若線段AC是以點A、C,M、N為頂點的平行四邊形的邊,當(dāng)點N在點M的左側(cè)時,MN=3-n;當(dāng)點N在點M的右側(cè)時,MN=n-3,然后根據(jù)已知條件在求n的坐標(biāo)就容易了
②若線段AC是以點A、C,M、N為頂點的平行四邊形的對角線時,由C與點A關(guān)于點B中心對稱知:點M與點N關(guān)于點B中心對稱,取點F關(guān)于點B的對稱點P,則P點坐標(biāo)為P點作軸,交拋物線于點N,結(jié)合已知條件再求n的坐標(biāo)就容易了.

試題解析:(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x1)(x+3).

∵拋物線交y軸于點E(0,3),將該點坐標(biāo)代入上式,得a=1,

∴所求函數(shù)表達(dá)式為y=(x1)(x+3)

(2)∵點C是點A關(guān)于點B的對稱點,A坐標(biāo)(3,0),B坐標(biāo)(1,0),

∴點C坐標(biāo)(5,0)

∴將點C坐標(biāo)代入

∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為

設(shè)K點的坐標(biāo)為(t,0),H點的坐標(biāo)為G點的坐標(biāo)為

∵點K為線段AB上一動點,

∴當(dāng),線段HG的長度有最大值

(3)∵點F是線段BC的中點,B(1,0),C(5,0)

∴點F的坐標(biāo)為(3,0),

∵直線l過點F且與y軸平行,

∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為x=3,

∵點M在直線l上,點N在拋物線上,

∴設(shè)點M的坐標(biāo)為(3,m),N的坐標(biāo)為

∵點A(3,0),C(5,0),

AC=8,

分情況討論:

①若線段AC是以點A.C,M、N為頂點的平行四邊形的邊,則需MNAC,且MN=AC=8.

當(dāng)點N在點M的左側(cè)時,MN=3n,

3n=8,解得n=5,

N點的坐標(biāo)為(5,12)

當(dāng)點N在點M的右側(cè)時,MN=n3

n3=8,

解得n=11

N點的坐標(biāo)為(11,140),

②若線段AC是以點A.C,MN為頂點的平行四邊形的對角線,C與點A關(guān)于點B中心對稱知:點M與點N關(guān)于點B中心對稱,取點F關(guān)于點B的對稱點P,P點坐標(biāo)為(1,0)

P點作NPx軸,交拋物線于點N,

x=1代入,得y=4

過點N作直線NM交直線l于點M,

在△BPN和△BFM中,

NBP=MBF,

BF=BP,

∴△BPN≌△BFM

NB=MB,

∴四邊形ANCM為平行四邊形,

∴坐標(biāo)(1,4)的點N符合條件,

∴當(dāng)N的坐標(biāo)為(5,12),(11,140),(1,4)時,以點A. C.M、N為頂點的四邊形為平行四邊形.

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