Question

【題目】已知，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1）觀察猜想：如圖①，若點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，且于點(diǎn)，則線段與的數(shù)量關(guān)系是_______；(不說(shuō)明理由)

（2）類比探究：若點(diǎn)、分別為、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且于點(diǎn)，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，在圖②中畫出符合題意的圖形，并說(shuō)明理由；

（3）解決問(wèn)題：如圖③，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，且，若，求的長(zhǎng)．(直接寫出結(jié)果，不說(shuō)明理由．)

Answer 1

【答案】（1）BE=AF；（2）BE=AF，理由見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出AD＝BD、∠EBD＝∠FAD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE＝∠ADF，由此即可證出△BDE≌△ADF（ASA），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證出BE＝AF；

（2）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及等角的補(bǔ)角相等可得出∠EBD＝∠FAD、BD＝AD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE＝∠ADF，由此即可證出△EDB≌△FDA（ASA），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BE＝AF；

（3）過(guò)點(diǎn)M作MG∥BC，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，同理證明△BMG≌△NMA，得到AN=GB=1,再根據(jù)等腰直角三角形求出AG的長(zhǎng)，即可求解.

（1）證明：連接AD，如圖①所示．

∵∠A＝90°，AB＝AC，

∴△ABC為等腰直角三角形，∠EBD＝45°．

∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∴AD＝BC＝BD，∠FAD＝45°．

∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF．

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE=AF．

（2）BE=AF

理由：如圖②，連結(jié)AD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=(180°-∠BAC)=(180°-90°)=45°

∵BD=AD，AB=AC，

∴AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×90°=45°，

∴∠BAD=∠ABC，

∴AD=BD

又∠CAD=∠ABC=45°，

∴∠DAF=∠DBE=135°

∵DE⊥DF，

∴∠BDE+∠BDF=90°

又AD⊥BC，

∴∠ADF+∠BDF=90°，

∴∠BDE=∠ADF

在△BDE和△ADF中，

∴△BDE≌△ADF，

∴BE=AF

（3）如圖③，過(guò)點(diǎn)M作MG∥BC，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵DA⊥BC，

∴AM⊥GM，

故△AMG為等腰直角三角形

∴GM=AM=2,故AG=2

∵

同（1）理可得△BMG≌△NMA，

∴AN=GB=1,

∴=AG-BG=AG-AN=.