Question

17．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC，若BC=2$\sqrt{3}$，AD=1，則S_{四邊形AOCP}=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先在AC上截取AE=PA，易得△APE是等邊三角形，繼而利用證得△OPA≌△CPE，即可得AC=AO+AP；過點C作CH⊥AB于H，易得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，S_{四邊形AOCP}=S_△ACP+S_△AOC=$\frac{1}{2}$AP•CH+$\frac{1}{2}$OA•CD=$\frac{1}{2}$AP•CH+$\frac{1}{2}$OA•CH=$\frac{1}{2}$CH•（AP+OA）=$\frac{1}{2}$CH•AC，即可得S_△ABC=S_{四邊形AOCP}．

解答 解：如圖1，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PE}\\{∠APO=∠CPE}\\{OP=CP\\;}\end{array}\right.$，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
如圖2，過點C作CH⊥AB于H，
∵在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°，∠PAC=180°-∠BAC=60°，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，S_{四邊形AOCP}=S_△ACP+S_△AOC=$\frac{1}{2}$AP•CH+$\frac{1}{2}$OA•CD=$\frac{1}{2}$AP•CH+$\frac{1}{2}$OA•CH=$\frac{1}{2}$CH•（AP+OA）=$\frac{1}{2}$CH•AC，
∵AB=AC，
∴S_{四邊形AOCP}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法，通過證明△OPA≌△CPE得到AC=AO+AP是解題關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．此題綜合性很強，難度較大．