Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，O是AD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在線段AB上，連接EO并延長交射線CD于點(diǎn)F，過O作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連接EG、FG．

如圖1，判斷的形狀，并說明理由；

如圖1，設(shè)，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

將點(diǎn)A沿直線EO翻折，得到點(diǎn)如圖2，請計(jì)算在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度并分別求出當(dāng)點(diǎn)G位于路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí)，的值？

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形，證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

由于四邊形ABCD是正方形，所以正方形的四個(gè)邊相等且對邊平行，四個(gè)角都是直角，很容易證明≌，從而可得出結(jié)論．

設(shè)時(shí)，的面積為y，有兩種情況，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，即時(shí)，可求出y的值，當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合時(shí)，，根據(jù)條件可證明∽，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得出函數(shù)式．

分當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)兩種情況進(jìn)行解答即可．

等腰三角形．

證明：四邊形ABCD是正方形，

，分，

在和中，

，

≌，

，

又，

，即是等腰三角形；

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖1所示，

，，

當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合時(shí)，

在中，，，

，

如圖2所示，過O作，垂足為N

則，，，

，

，

，

，

∽；

，

，

．

；

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖1中，點(diǎn)與點(diǎn)A重合，易知，．

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖3中，連接，過點(diǎn)作交AD于M，交BC于

設(shè)，，則，，

則有，解得，

，，

由∽，可得，

點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度為，

在中，．